切线、梯度与驻点

IB 数学：应用与解释 SL· 45 分钟阅读

1. 切线梯度与一阶导数★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

切线梯度

$f^{'} (a)$ or $\frac{d y}{d x}_{x = a}$

曲线 $y = f (x)$ 在 $x = a$ 处的切线梯度等于一阶导数在 $x = a$ 处的值。

例:

对于 $f (x) = x^{2}$ ， $x = 2$ 处的梯度为 $f^{'} (2) = 4$ 。

曲线在某点的切线是恰好触碰该点、且在该点处与曲线斜率完全相等的直线。求导可以得到适用于曲线上任意点的梯度函数，因此我们只需要将它代入目标x坐标求值即可。

📐 例题

求 $y = x^{3} - 2 x + 5$ 在 $x = 1$ 处的切线梯度。

1
对函数求导得到梯度函数：
2
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2$
3
在 $x = 1$ 处对导数求值：
4
$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=1} = 3(1)^2 - 2 = 1$
5
$x = 1$ 处的切线梯度为 $1$ 。

Exam tip:

务必将给定的 $x$ -值代入导数得到数值梯度，不要保留 $x$ 的函数形式。

2. 求切线方程★★☆☆☆⏱ 20 min

要求切线的完整方程，你已经通过导数得到了梯度。切线始终经过切点 $(a, f (a))$ ，因此可以使用直线的点斜式公式求解。

对 $f (x)$ 求导得到梯度函数 $f^{'} (x)$
在 $x = a$ 处计算梯度 $m = f^{'} (a)$
计算 $y$ 坐标： $b = f (a)$ 得到点 $(a, b)$
代入 $y - b = m (x - a)$
整理为要求的 $y = m x + c$ 形式

📐 例题

求 $y = 2 x^{2} - 3 x$ 在 $x = 2$ 处的切线方程。

1
求导得到梯度函数：
2
$\frac{dy}{dx} = 4x - 3$
3
在 $x = 2$ 处计算梯度：
4
$m = 4(2) - 3 = 5$
5
求切点的 $y$ 坐标：
6
$y = 2(2)^2 - 3(2) = 2, \text{ so point } = (2, 2)$
7
代入点斜式公式并整理：
8
$y - 2 = 5(x - 2) \implies y = 5x - 8$

3. 驻点：定义与定位★★★☆☆⏱ 15 min

📘 定义

驻点

$f^{'} (x) = 0$

曲线上梯度为零的点，此时切线水平，函数既不递增也不递减。

求驻点时，先令一阶导数等于零，求解得到 $x$ ，再为每个解计算对应的 $y$ 坐标。在IB AI SL中，你只需要将驻点分类为局部极大值或局部极小值即可。

📐 例题

定位 $y = x^{3} - 3 x + 2$ 的所有驻点。

1
计算一阶导数：
2
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3$
3
令导数等于零，求解 $x$ ：
4
$3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ or } x = -1$
5
计算对应的 $y$ 坐标：
6
$x=1: y = 1^3 - 3(1) + 2 = 0 \\ x=-1: y = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4$
7
驻点位于 $(1, 0)$ 和 $(- 1, 4)$ 。

4. 驻点分类★★★☆☆⏱ 20 min

对于IB AI SL，分类驻点最常用的方法是一阶导数测试：测试驻点左右两侧梯度的符号。

对于 $x = a$ 处的驻点，取很小的 $h$ ，计算 $f^{'} (a - h)$ （左侧）和 $f^{'} (a + h)$ （右侧）
梯度从正 $\to$ 负 = 局部极大值
梯度从负 $\to$ 正 = 局部极小值
符号不变 = 水平拐点

📐 例题

对上一个例子中 $y = x^{3} - 3 x + 2$ 的驻点进行分类。

1
取 $h = 0.1$ ，测试 $x = - 1$ 处的驻点：
2
$f'(-1.1) = 3(-1.1)^2 - 3 = 0.63 > 0 \quad f'(-0.9) = 3(-0.9)^2 - 3 = -0.57 < 0$
3
梯度从正变为负，因此 $(- 1, 4)$ 是局部极大值。
4
测试 $x = 1$ 处的驻点：
5
$f'(0.9) = -0.57 < 0 \quad f'(1.1) = 0.63 > 0$
6
梯度从负变为正，因此 $(1, 0)$ 是局部极小值。

5. 常见陷阱

错误做法:

求切线方程时忘记计算 $y$ 坐标

原因:

导数只能得到梯度，你需要 $y$ 坐标才能写出完整方程

正确做法:

务必将给定 $x$ 值代入原函数得到切点坐标

错误做法:

求驻点时令原函数等于零，而非导数等于零

原因:

驻点要求梯度（而非函数值）等于零

正确做法:

务必令一阶导数 $f^{'} (x) = 0$ ，而非 $f (x) = 0$

错误做法:

混淆极大值和极小值的符号变化规则

原因:

测试点左右两侧时很容易颠倒符号顺序

正确做法:

记住：正变负 = 峰值（极大值），负变正 = 谷值（极小值）

错误做法:

在切线方程中将梯度值作为 $y$ 截距使用

原因:

整理公式时混淆了梯度和截距的作用

正确做法:

始终从点斜式公式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 开始推导即可避免该错误

错误做法:

找到驻点的 $x$ 坐标后就停止计算

原因:

考试题目几乎总是要求给出驻点的完整坐标

正确做法:

务必将 $x$ 代回原函数得到对应的 $y$ 坐标

6. 速查表

步骤	求切线方程	求并分类驻点
1	对 $y = f (x)$ 求导得到 $\frac{d y}{d x}$	对 $y = f (x)$ 求导得到 $\frac{d y}{d x}$
2	计算 $m = \frac{d y}{d x} ∣_{x = a}$	令 $\frac{d y}{d x} = 0$ ，求解 $x$
3	计算 $y_{1} = f (a)$ 得到点 $(a, y_{1})$	为每个 $x$ 找到对应的 $y$ 坐标
4	代入 $y - y_{1} = m (x - a)$	测试点两侧导数的符号
5	整理为要求的形式	极大值：正 $\to$ 负，极小值：负 $\to$ 正

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
求三次曲线的切线方程
2023 · 2
求二次函数的驻点并分类

深入阅读

Formula sheetIB AI SL 微积分公式参考包含切线和梯度相关公式

下一步

理解切线和驻点是解决最优化问题的基础，最优化问题是IB AI SL考试中最常见的微积分应用题型。这些概念还能帮助你通过识别关键特征绘制准确的函数图像，这是许多绘图和解题问题的要求。接下来，你将应用这些技能解决实际的真实世界最优化问题，这类问题需要你找到函数的最大值或最小值，例如最大化面积或最小化生产成本。这些技能还与绘图和积分（求导的逆运算）的进一步学习直接相关。