# 切线、梯度与驻点

> IB 数学：应用与解释 SL · IB MATH AI SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-tangents-gradients-and-stationary-points/

本小节讲解如何利用求导得到曲线切线的梯度和方程，以及如何定位和分类驻点（局部极大值和极小值）。这些是IB考试中绘图和最优化问题的核心技能。

**先修:** [多项式函数的基础求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-basic-differentiation-rules/)

## 学习目标

- 使用求导计算曲线上某点处切线的梯度
- 求曲线切线的完整方程
- 通过求解$f'(x)=0$定位驻点
- 将驻点分类为局部极大值或局部极小值

## 切线梯度与一阶导数

**切线梯度** — 曲线$y=f(x)$在$x=a$处的切线梯度等于一阶导数在$x=a$处的值。

*记法:* $f'(a)$ or $\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=a}$

*例:* 对于$f(x)=x^2$，$x=2$处的梯度为$f'(2)=4$。

曲线在某点的切线是恰好触碰该点、且在该点处与曲线斜率完全相等的直线。求导可以得到适用于曲线上任意点的梯度函数，因此我们只需要将它代入目标x坐标求值即可。

**例题:** 求$y = x^3 - 2x + 5$在$x=1$处的切线梯度。

1. 对函数求导得到梯度函数：
2. $$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2$$
3. 在$x=1$处对导数求值：
4. $$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=1} = 3(1)^2 - 2 = 1$$
5. $x=1$处的切线梯度为$1$。

> **考试提示:** 务必将给定的$x$-值代入导数得到数值梯度，不要保留$x$的函数形式。

## 求切线方程

要求切线的完整方程，你已经通过导数得到了梯度。切线始终经过切点$(a, f(a))$，因此可以使用直线的点斜式公式求解。

1. 对$f(x)$求导得到梯度函数$f'(x)$
2. 在$x=a$处计算梯度$m = f'(a)$
3. 计算$y$坐标：$b = f(a)$得到点$(a, b)$
4. 代入$y - b = m(x - a)$
5. 整理为要求的$y = mx + c$形式

**例题:** 求$y = 2x^2 - 3x$在$x=2$处的切线方程。

1. 求导得到梯度函数：
2. $$\frac{dy}{dx} = 4x - 3$$
3. 在$x=2$处计算梯度：
4. $$m = 4(2) - 3 = 5$$
5. 求切点的$y$坐标：
6. $$y = 2(2)^2 - 3(2) = 2, \text{ so point } = (2, 2)$$
7. 代入点斜式公式并整理：
8. $$y - 2 = 5(x - 2) \implies y = 5x - 8$$

## 驻点：定义与定位

**驻点** — 曲线上梯度为零的点，此时切线水平，函数既不递增也不递减。

*记法:* $f'(x) = 0$

求驻点时，先令一阶导数等于零，求解得到$x$，再为每个解计算对应的$y$坐标。在IB AI SL中，你只需要将驻点分类为局部极大值或局部极小值即可。

**例题:** 定位$y = x^3 - 3x + 2$的所有驻点。

1. 计算一阶导数：
2. $$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3$$
3. 令导数等于零，求解$x$：
4. $$3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ or } x = -1$$
5. 计算对应的$y$坐标：
6. $$x=1: y = 1^3 - 3(1) + 2 = 0 \\ x=-1: y = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4$$
7. 驻点位于$(1, 0)$和$(-1, 4)$。

## 驻点分类

对于IB AI SL，分类驻点最常用的方法是一阶导数测试：测试驻点左右两侧梯度的符号。

1. 对于$x=a$处的驻点，取很小的$h$，计算$f'(a-h)$（左侧）和$f'(a+h)$（右侧）
2. 梯度从正$\to$负 = 局部极大值
3. 梯度从负$\to$正 = 局部极小值
4. 符号不变 = 水平拐点

**例题:** 对上一个例子中$y = x^3 - 3x + 2$的驻点进行分类。

1. 取$h=0.1$，测试$x=-1$处的驻点：
2. $$f'(-1.1) = 3(-1.1)^2 - 3 = 0.63 > 0 \quad f'(-0.9) = 3(-0.9)^2 - 3 = -0.57 < 0$$
3. 梯度从正变为负，因此$(-1, 4)$是局部极大值。
4. 测试$x=1$处的驻点：
5. $$f'(0.9) = -0.57 < 0 \quad f'(1.1) = 0.63 > 0$$
6. 梯度从负变为正，因此$(1, 0)$是局部极小值。

> **tip**
>
> 你也可以用计算器绘制函数图像来验证分类结果，这在IB AI SL考试中是完全允许的。

## 常见错误

- **错误做法:** 求切线方程时忘记计算$y$坐标
  - 原因: 导数只能得到梯度，你需要$y$坐标才能写出完整方程
  - 正确做法: 务必将给定$x$值代入原函数得到切点坐标
- **错误做法:** 求驻点时令原函数等于零，而非导数等于零
  - 原因: 驻点要求梯度（而非函数值）等于零
  - 正确做法: 务必令一阶导数$f'(x) = 0$，而非$f(x) = 0$
- **错误做法:** 混淆极大值和极小值的符号变化规则
  - 原因: 测试点左右两侧时很容易颠倒符号顺序
  - 正确做法: 记住：正变负 = 峰值（极大值），负变正 = 谷值（极小值）
- **错误做法:** 在切线方程中将梯度值作为$y$截距使用
  - 原因: 整理公式时混淆了梯度和截距的作用
  - 正确做法: 始终从点斜式公式$y - y_1 = m(x - x_1)$开始推导即可避免该错误
- **错误做法:** 找到驻点的$x$坐标后就停止计算
  - 原因: 考试题目几乎总是要求给出驻点的完整坐标
  - 正确做法: 务必将$x$代回原函数得到对应的$y$坐标

## 速查表

| 步骤 | 求切线方程 | 求并分类驻点 |
| --- | --- | --- |
| 1 | 对$y=f(x)$求导得到$\frac{dy}{dx}$ | 对$y=f(x)$求导得到$\frac{dy}{dx}$ |
| 2 | 计算$m = \frac{dy}{dx}\|_{x=a}$ | 令$\frac{dy}{dx} = 0$，求解$x$ |
| 3 | 计算$y_1 = f(a)$得到点$(a, y_1)$ | 为每个$x$找到对应的$y$坐标 |
| 4 | 代入$y - y_1 = m(x-a)$ | 测试点两侧导数的符号 |
| 5 | 整理为要求的形式 | 极大值：正$\to$负，极小值：负$\to$正 |

## 下一步

理解切线和驻点是解决最优化问题的基础，最优化问题是IB AI SL考试中最常见的微积分应用题型。这些概念还能帮助你通过识别关键特征绘制准确的函数图像，这是许多绘图和解题问题的要求。接下来，你将应用这些技能解决实际的真实世界最优化问题，这类问题需要你找到函数的最大值或最小值，例如最大化面积或最小化生产成本。这些技能还与绘图和积分（求导的逆运算）的进一步学习直接相关。

- [利用求导解决最优化问题](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-optimisation-problems-with-differentiation/)
- [多项式的不定积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-indefinite-integration-of-polynomials/)
- [定积分与曲线下面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-definite-integrals-and-area-under/)

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