单元总览

微积分

IB 数学 AI SL· 5 分钟阅读 📊 占IB 数学 AI SL 统考总分的16-18%

1. 单元概览

本单元由浅入深展开，先从导数直观的几何意义讲起，再逐步讲解运算技巧和实际应用。你将先学习多项式求导，再运用导数解决最优化问题；接着我们从求导的逆运算引入积分，学习计算曲线下面积，最后将两种工具应用到运动学问题中。每个子主题都建立在前一个主题的基础上，请按顺序学习。

本单元包含以下子主题：

导数：切线斜率与变化率

介绍导数的几何意义，以及其作为变化率的含义。

★★⏱ 8 min

多项式函数求导（幂法则）

讲解对任意多项式求导的幂法则。

★★⏱ 7 min

切线、斜率与驻点

讲解如何运用导数求切线方程，并对驻点进行分类。

★★★⏱ 9 min

运用求导求解最优化问题

运用驻点分析求解实际问题中的最大值/最小值问题。

★★★★⏱ 12 min

多项式的不定积分

将积分作为求导的逆运算引入，讲解积分的幂法则。

★★★⏱ 8 min

定积分与曲线下面积

讲解如何运用定积分计算曲线与x轴之间的面积。

★★★⏱ 10 min

微积分的运动学应用

运用求导和积分建立位移、速度与加速度之间的联系。

★★★★⏱ 11 min

2. 常见陷阱

错误做法:

计算不定积分时忘记积分常数 $+ c$

原因:

即使积分计算正确，也会因此直接扣分

正确做法:

任何不定积分结果末尾都必须加上 $+ c$

错误做法:

运动学问题中混淆求导和积分

原因:

很多学生搞反位移、速度和加速度之间的转换关系

正确做法:

从位移→速度→加速度用求导；反向转换用积分

错误做法:

计算面积时，没有对曲线在x轴下方的部分做调整

原因:

x轴下方区域的定积分结果为负值，会导致最终的净面积结果错误

正确做法:

将积分拆分为多个区间，对每个区间的结果取绝对值后再相加

3. 速查表

概念	核心公式/法则
求导幂法则	$\frac{d}{d x} (a x^{n}) = na x^{n - 1}$
$x = a$ 处的切线斜率	$m = f^{'} (a)$
驻点条件	$f^{'} (x) = 0$
积分幂法则	$\int a x^{n} d x = \frac{a x ^{n + 1}}{n + 1} + c (n \neq = - 1)$
正曲线下的面积	$Area = \int_{a}^{b} f (x) d x$
由位移求加速度	$a = \frac{d ^{2} s}{d t ^{2}} = \frac{d v}{d t}$
由速度求位移	$s = \int v d t + c$

下一步

从本单元的第一个子主题开始学习，建立对导数作为切线斜率和变化率的基础直观理解。每个概念都建立在前一个主题的基础上，请按顺序学习每个子主题。请熟记上述速查表中的核心公式，几乎所有微积分考题都会用到这些公式。完成所有微积分子主题的学习后，你就可以进入IB 数学 AI SL大纲的下一个单元了。