# 微积分

> IB 数学 AI SL · IB 数学 AI SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-overview/
> 占比: 占IB 数学 AI SL 统考总分的16-18%

本单元介绍IB AI SL的核心微积分概念，涵盖多项式的求导、积分，以及它们在最优化、面积计算和运动学中的应用，是考试中分值占比最高的考点之一。

**先修:** [多项式函数与坐标几何的基础知识](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-functions-overview/)

## 学习目标

- 理解导数作为切线斜率以及实际函数变化率的含义
- 正确运用幂法则对多项式函数进行求导和积分
- 运用求导法求驻点，求解实际最优化问题
- 使用定积分计算曲线下的面积
- 运用求导和积分解决运动学问题

## 单元概览

本单元由浅入深展开，先从导数直观的几何意义讲起，再逐步讲解运算技巧和实际应用。你将先学习多项式求导，再运用导数解决最优化问题；接着我们从求导的逆运算引入积分，学习计算曲线下面积，最后将两种工具应用到运动学问题中。每个子主题都建立在前一个主题的基础上，请按顺序学习。

本单元包含以下子主题：
- [导数：切线斜率与变化率](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u5-derivative-as-gradient-of-tangent/) — 介绍导数的几何意义，以及其作为变化率的含义。
- [多项式函数求导（幂法则）](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u5-differentiation-of-polynomial-functions/) — 讲解对任意多项式求导的幂法则。
- [切线、斜率与驻点](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u5-tangents-gradients-and-stationary-points/) — 讲解如何运用导数求切线方程，并对驻点进行分类。
- [运用求导求解最优化问题](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u5-optimisation-problems-with-differentiation/) — 运用驻点分析求解实际问题中的最大值/最小值问题。
- [多项式的不定积分](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u5-indefinite-integration-of-polynomials/) — 将积分作为求导的逆运算引入，讲解积分的幂法则。
- [定积分与曲线下面积](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u5-definite-integrals-and-area-under/) — 讲解如何运用定积分计算曲线与x轴之间的面积。
- [微积分的运动学应用](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u5-kinematic-applications-of-calculus/) — 运用求导和积分建立位移、速度与加速度之间的联系。

## 常见错误

- **错误做法:** 计算不定积分时忘记积分常数$+c$
  - 原因: 即使积分计算正确，也会因此直接扣分
  - 正确做法: 任何不定积分结果末尾都必须加上$+c$
- **错误做法:** 运动学问题中混淆求导和积分
  - 原因: 很多学生搞反位移、速度和加速度之间的转换关系
  - 正确做法: 从位移→速度→加速度用求导；反向转换用积分
- **错误做法:** 计算面积时，没有对曲线在x轴下方的部分做调整
  - 原因: x轴下方区域的定积分结果为负值，会导致最终的净面积结果错误
  - 正确做法: 将积分拆分为多个区间，对每个区间的结果取绝对值后再相加

## 速查表

| 概念 | 核心公式/法则 |
| --- | --- |
| 求导幂法则 | $\frac{d}{dx}(ax^n) = nax^{n-1}$ |
| $x=a$处的切线斜率 | $m = f'(a)$ |
| 驻点条件 | $f'(x) = 0$ |
| 积分幂法则 | $\int ax^n dx = \frac{ax^{n+1}}{n+1} + c \quad (n \neq -1)$ |
| 正曲线下的面积 | $\text{Area} = \int_{a}^{b} f(x) dx$ |
| 由位移求加速度 | $a = \frac{d^2s}{dt^2} = \frac{dv}{dt}$ |
| 由速度求位移 | $s = \int v \, dt + c$ |

## 下一步

从本单元的第一个子主题开始学习，建立对导数作为切线斜率和变化率的基础直观理解。每个概念都建立在前一个主题的基础上，请按顺序学习每个子主题。请熟记上述速查表中的核心公式，几乎所有微积分考题都会用到这些公式。完成所有微积分子主题的学习后，你就可以进入IB 数学 AI SL大纲的下一个单元了。

- [导数：切线斜率与变化率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-derivative-as-gradient-of-tangent/)
- [多项式函数的求导（幂法则）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-differentiation-of-polynomial-functions/)
- [切线、梯度与驻点](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-tangents-gradients-and-stationary-points/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-overview/