利用求导解决最优化问题

IB 数学：应用与解释 SL· 45 分钟阅读

1. 对实际问题建模★★☆☆☆⏱ 15 min

任何最优化问题中第一步也是最关键的一步，就是将文字问题转化为可求导的单变量函数。题目几乎都会给出一个固定约束条件（例如固定周长、固定体积），你可以借此消去一个变量，最终得到仅含一个自变量的目标函数。

📘 定义

约束条件

题目给出的固定条件，它关联两个变量，让你可以将目标函数写为仅含单个变量的形式。

例:

总表面积固定的盒子，其表面积就是该问题的约束条件。

📐 例题

一块长方形花园需要用100米围栏围起来，其中一侧挨着房屋不需要围栏。将花园面积建模为单变量函数。

1
1. 定义变量：设 $x$ 为垂直于房屋的边长， $y$ 为平行于房屋的边长。
2
1. 写出围栏长度的约束条件：
3
$2x + y = 100$
4
1. 整理约束条件，分离出 $y$ ：
5
$y = 100 - 2x$
6
1. 写出面积 $A$ 的目标函数（我们需要最大化这个值）：
7
$A = xy = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$
8
1. 确定有效定义域： $0 < x < 50$ ，因为长度不能为负。

Exam tip:

建模后务必确认函数的定义域。如果你忽略定义域边界，无效的负值会导致荒谬的错误解答。

2. 寻找并分类临界点★★★☆☆⏱ 20 min

得到单变量目标函数后，下一步就是寻找临界点（梯度为零的驻点），极值只能出现在这些位置。

对于AI SL来说，对临界点分类最简单的方法是二阶导数测试，它可以告诉你该点是极大值点还是极小值点。

📘 定义

二阶导数测试

对于 $x = a$ 处的临界点：若 $f^{''} (a) < 0$ ，则该点是局部极大值点；若 $f^{''} (a) > 0$ ，则该点是局部极小值点。

📐 例题

对于花园面积函数 $A (x) = 100 x - 2 x^{2}$ ，找出临界点并对其分类。

1
1. 对 $A (x)$ 求导得到一阶导数：
2
$\frac{dA}{dx} = 100 - 4x$
3
1. 令一阶导数等于零，求解临界点：
4
$100 - 4x = 0 \implies x = 25$
5
1. 计算二阶导数：
6
$\frac{d^2A}{dx^2} = -4$
7
1. 对该点分类：因为 $\frac{d ^{2} A}{d x ^{2}} = - 4 < 0$ ，所以 $x = 25$ 是局部极大值点。

Exam tip:

如果二阶导数为零，需要使用一阶导数符号测试对该点分类，但在AI SL考试的多项式最优化问题中，这种情况非常罕见。

3. 结合问题背景解读解答★★★☆☆⏱ 15 min

对局部极值分类后，你需要确认它是全局极值（整个定义域上的绝对最大值或最小值），然后结合原问题给出最终答案。

对于AI SL最优化问题中常见的闭定义域，全局极值一定出现在临界点或者定义域端点处。请务必检查你的答案是否符合实际物理意义。

📐 例题

对于上述花园问题，求出花园的最大面积以及对应的尺寸。

1
1. 我们已经确认 $x = 25$ 米处存在局部极大值。
2
1. 检查定义域 $0 < x < 50$ 的端点：在 $x = 0$ 和 $x = 50$ 处，面积 $A = 0$ ，是最小值。
3
1. 根据约束条件计算 $y$ ：
4
$y = 100 - 2(25) = 50 \text{ m}$
5
1. 计算最大面积：
6
$A = 25 \times 50 = 1250 \text{ m}^2$
7
1. 结合问题背景给出最终答案：花园的最大面积为 $1250 m^{2}$ ，尺寸为25米（垂直于房屋）×50米（平行于房屋）。

4. 常见考试题型★★★☆☆⏱ 20 min

周长/表面积固定，求最大面积/体积
面积/体积固定，求最小周长/表面积
不同材料成本不同，求最小建造成本
价格-需求函数下，求最大利润/收入

📐 例题

一个封闭圆柱形罐子的体积固定为 $1000 cm^{3}$ ，顶部和底部的材料成本为每平方厘米2美分，侧面材料成本为每平方厘米1美分。求该罐子的最低总成本。

1
1. 定义变量： $r$ = 底面半径， $h$ = 罐子高度
2
1. 体积约束：
3
$V = \pi r^2 h = 1000 \implies h = \frac{1000}{\pi r^2}$
4
1. 写出总成本函数 $C$ ：
5
$C = 2(\pi r^2)(2) + (2\pi r h)(1) = 4\pi r^2 + 2\pi r h$
6
1. 代入 $h$ ，得到仅关于 $r$ 的函数 $C$ ：
7
$C(r) = 4\pi r^2 + \frac{2000}{r}$
8
1. 求导并令导数等于零：
9
$C'(r) = 8\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \implies r^3 = \frac{250}{\pi} \implies r \approx 4.31 \text{ cm}$
10
1. 二阶导数测试：对于所有 $r > 0$ ，都有 $C^{''} (r) = 8 π + \frac{4000}{r ^{3}} > 0$ ，因此这是极小值点
11
1. 计算最低成本： $C \approx 696$ 美分 = $6.96

5. 常见陷阱

错误做法:

求导前目标函数仍保留两个变量

原因:

AI SL讲授的单变量求导方法仅适用于单变量函数

正确做法:

始终使用题目给出的约束条件整理代入，最终得到单变量目标函数

错误做法:

忘记检查定义域端点

原因:

全局最大/最小值有时出现在端点，而非临界点

正确做法:

始终先确定定义域，再检查所有端点的函数值，以确认全局极值

错误做法:

最终答案漏写单位

原因:

最优化问题都是实际问题，IB会为正确单位分配分数

正确做法:

最终答案中，所有尺寸、面积、体积和成本都务必注明单位

错误做法:

没有证明临界点是最大值/最小值点

原因:

IB要求明确证明才能给最优化问题打满分

正确做法:

始终使用二阶导数测试或一阶导数符号测试对临界点分类

错误做法:

整理约束条件时出现代数错误

原因:

即使求导步骤正确，错误的模型也会导致错误答案

正确做法:

求导前再次检查代入步骤，确认约束条件和题目描述一致

6. 速查表

步骤	操作	检查项
1	定义变量，写出约束条件	变量符合题目描述
2	消去一个变量，写出目标函数	确认 $x$ 的有效定义域
3	求导，找出临界点	检查求导计算是否正确
4	用二阶导数测试对临界点分类	确认该点就是题目要求的极值
5	检查端点，计算最终值	添加单位，回答题目所问问题

7. 常见问题

在IB考试中我需要证明我的最大值/最小值结论吗？

是的，IB阅卷官要求明确证明你的临界点是题目要求的极值。你可以通过二阶导数测试、一阶导数符号测试，或者检查定义域端点来满足要求。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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深入阅读

syllabusIB AI SL 微积分主题指南官方大纲参考

下一步

利用求导解决最优化问题是微积分应用的核心考点，在IB AI SL的Paper 1和Paper 2中都频繁出现。这个子主题建立在你对基础求导和极值的理解之上，为你学习相关变化率、积分应用等更高级的微积分应用主题做准备。你在这里学到的问题解决能力（用数学对实际场景建模）也可以直接应用于你大学可能学习的经济学、环境科学和物理课程。