# 利用求导解决最优化问题

> IB 数学：应用与解释 SL · IB AI SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-optimisation-problems-with-differentiation/

本模块讲解如何利用求导解决实际最优化问题（最大化面积、最小化成本等）。你将学习如何建立问题模型、寻找极值，并按照IB AI SL的考试要求验证解答。

**先修:** [多项式函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-basic-differentiation/); [寻找并分类临界点](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-critical-points-extrema/)

## 学习目标

- 将实际最优化问题转化为单变量数学函数
- 利用求导确定目标函数的临界点
- 对极值分类，确认最大值/最小值解
- 在原问题背景下验证并给出解答

## 对实际问题建模

任何最优化问题中第一步也是最关键的一步，就是将文字问题转化为可求导的单变量函数。题目几乎都会给出一个固定约束条件（例如固定周长、固定体积），你可以借此消去一个变量，最终得到仅含一个自变量的目标函数。

**约束条件** — 题目给出的固定条件，它关联两个变量，让你可以将目标函数写为仅含单个变量的形式。

*例:* 总表面积固定的盒子，其表面积就是该问题的约束条件。

**例题:** 一块长方形花园需要用100米围栏围起来，其中一侧挨着房屋不需要围栏。将花园面积建模为单变量函数。

1. 1. 定义变量：设$x$为垂直于房屋的边长，$y$为平行于房屋的边长。
2. 2. 写出围栏长度的约束条件：
3. $$2x + y = 100$$
4. 3. 整理约束条件，分离出$y$：
5. $$y = 100 - 2x$$
6. 4. 写出面积$A$的目标函数（我们需要最大化这个值）：
7. $$A = xy = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$$
8. 5. 确定有效定义域：$0 < x < 50$，因为长度不能为负。

> **考试提示:** 建模后务必确认函数的定义域。如果你忽略定义域边界，无效的负值会导致荒谬的错误解答。

## 寻找并分类临界点

得到单变量目标函数后，下一步就是寻找临界点（梯度为零的驻点），极值只能出现在这些位置。

对于AI SL来说，对临界点分类最简单的方法是二阶导数测试，它可以告诉你该点是极大值点还是极小值点。

**二阶导数测试** — 对于$x=a$处的临界点：若$f''(a) < 0$，则该点是局部极大值点；若$f''(a) > 0$，则该点是局部极小值点。

**例题:** 对于花园面积函数$A(x) = 100x - 2x^2$，找出临界点并对其分类。

1. 1. 对$A(x)$求导得到一阶导数：
2. $$\frac{dA}{dx} = 100 - 4x$$
3. 2. 令一阶导数等于零，求解临界点：
4. $$100 - 4x = 0 \implies x = 25$$
5. 3. 计算二阶导数：
6. $$\frac{d^2A}{dx^2} = -4$$
7. 4. 对该点分类：因为$\frac{d^2A}{dx^2} = -4 < 0$，所以$x=25$是局部极大值点。

> **考试提示:** 如果二阶导数为零，需要使用一阶导数符号测试对该点分类，但在AI SL考试的多项式最优化问题中，这种情况非常罕见。

## 结合问题背景解读解答

对局部极值分类后，你需要确认它是全局极值（整个定义域上的绝对最大值或最小值），然后结合原问题给出最终答案。

对于AI SL最优化问题中常见的闭定义域，全局极值一定出现在临界点或者定义域端点处。请务必检查你的答案是否符合实际物理意义。

**例题:** 对于上述花园问题，求出花园的最大面积以及对应的尺寸。

1. 1. 我们已经确认$x=25$米处存在局部极大值。
2. 2. 检查定义域$0 < x < 50$的端点：在$x=0$和$x=50$处，面积$A=0$，是最小值。
3. 3. 根据约束条件计算$y$：
4. $$y = 100 - 2(25) = 50 \text{ m}$$
5. 4. 计算最大面积：
6. $$A = 25 \times 50 = 1250 \text{ m}^2$$
7. 5. 结合问题背景给出最终答案：花园的最大面积为$1250 \text{ m}^2$，尺寸为25米（垂直于房屋）×50米（平行于房屋）。

> **tip**
>
> 最终答案务必加上正确的单位。IB阅卷官经常会因为最优化问题漏写单位扣分。

## 常见考试题型

- 周长/表面积固定，求最大面积/体积
- 面积/体积固定，求最小周长/表面积
- 不同材料成本不同，求最小建造成本
- 价格-需求函数下，求最大利润/收入

**例题:** 一个封闭圆柱形罐子的体积固定为$1000 \text{ cm}^3$，顶部和底部的材料成本为每平方厘米2美分，侧面材料成本为每平方厘米1美分。求该罐子的最低总成本。

1. 1. 定义变量：$r$ = 底面半径，$h$ = 罐子高度
2. 2. 体积约束：
3. $$V = \pi r^2 h = 1000 \implies h = \frac{1000}{\pi r^2}$$
4. 3. 写出总成本函数$C$：
5. $$C = 2(\pi r^2)(2) + (2\pi r h)(1) = 4\pi r^2 + 2\pi r h$$
6. 4. 代入$h$，得到仅关于$r$的函数$C$：
7. $$C(r) = 4\pi r^2 + \frac{2000}{r}$$
8. 5. 求导并令导数等于零：
9. $$C'(r) = 8\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \implies r^3 = \frac{250}{\pi} \implies r \approx 4.31 \text{ cm}$$
10. 6. 二阶导数测试：对于所有$r>0$，都有$C''(r) = 8\pi + \frac{4000}{r^3} > 0$，因此这是极小值点
11. 7. 计算最低成本：$C \approx 696$美分 = \$6.96

## 常见错误

- **错误做法:** 求导前目标函数仍保留两个变量
  - 原因: AI SL讲授的单变量求导方法仅适用于单变量函数
  - 正确做法: 始终使用题目给出的约束条件整理代入，最终得到单变量目标函数
- **错误做法:** 忘记检查定义域端点
  - 原因: 全局最大/最小值有时出现在端点，而非临界点
  - 正确做法: 始终先确定定义域，再检查所有端点的函数值，以确认全局极值
- **错误做法:** 最终答案漏写单位
  - 原因: 最优化问题都是实际问题，IB会为正确单位分配分数
  - 正确做法: 最终答案中，所有尺寸、面积、体积和成本都务必注明单位
- **错误做法:** 没有证明临界点是最大值/最小值点
  - 原因: IB要求明确证明才能给最优化问题打满分
  - 正确做法: 始终使用二阶导数测试或一阶导数符号测试对临界点分类
- **错误做法:** 整理约束条件时出现代数错误
  - 原因: 即使求导步骤正确，错误的模型也会导致错误答案
  - 正确做法: 求导前再次检查代入步骤，确认约束条件和题目描述一致

## 速查表

| 步骤 | 操作 | 检查项 |
| --- | --- | --- |
| 1 | 定义变量，写出约束条件 | 变量符合题目描述 |
| 2 | 消去一个变量，写出目标函数 | 确认$x$的有效定义域 |
| 3 | 求导，找出临界点 | 检查求导计算是否正确 |
| 4 | 用二阶导数测试对临界点分类 | 确认该点就是题目要求的极值 |
| 5 | 检查端点，计算最终值 | 添加单位，回答题目所问问题 |

## 下一步

利用求导解决最优化问题是微积分应用的核心考点，在IB AI SL的Paper 1和Paper 2中都频繁出现。这个子主题建立在你对基础求导和极值的理解之上，为你学习相关变化率、积分应用等更高级的微积分应用主题做准备。你在这里学到的问题解决能力（用数学对实际场景建模）也可以直接应用于你大学可能学习的经济学、环境科学和物理课程。

- [多项式的不定积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-indefinite-integration-of-polynomials/)
- [定积分与曲线下面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-definite-integrals-and-area-under/)
- [微积分的运动学应用](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-kinematic-applications-of-calculus/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-optimisation-problems-with-differentiation/