微积分的运动学应用

IB 数学：应用与解释 SL· 5.7 Kinematic applications of calculus· 35 分钟阅读

1. 运动学量之间的关系★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

核心运动学关系

\frac{ds}{dt} = v, \quad \frac{dv}{dt} = a = \frac{d^2s}{dt^2}

对于直线运动，速度是位移对时间的一阶导数。加速度是速度对时间的一阶导数（或位移对时间的二阶导数）。反向推导时，对加速度积分得速度，对速度积分得位移。

所有量都是带符号的：正值表示沿一个方向运动，负值表示沿相反方向运动。这种符号约定让我们可以用微积分自然地描述方向变化。

📐 例题

质点的位移为 $s (t) = 2 t^{3} - 15 t^{2} + 36 t + 4$ ，其中 $s$ 单位为米， $t$ 单位为秒， $t \geq 0$ 。求速度函数和加速度函数。

1
速度是位移的一阶导数：
2
$v(t) = \frac{d}{dt}\left(2t^3 - 15t^2 + 36t + 4\right) = 6t^2 - 30t + 36 = 6(t-2)(t-3)$
3
加速度是速度的一阶导数：
4
$a(t) = \frac{d}{dt}\left(6t^2 - 30t + 36\right) = 12t - 30$
5
带单位的最终答案： $v (t) = 6 t^{2} - 30 t + 36 ms^{- 1}$ 和 $a (t) = 12 t - 30 ms^{- 2}$ 。

2. 初始条件与未知量求解★★★☆☆⏱ 20 min

当对加速度积分求速度、或对速度积分求位移时，你会得到积分常数。你需要一个初始条件（即给定时间（通常为 $t = 0$ ）下该量的已知值）来求解这个常数。常见的初始条件有

从静止开始： $v (0) = 0$
从原点出发： $s (0) = 0$
初始位移： $s (0) = s_{0}$

📐 例题

一个质点从原点静止出发（ $t = 0$ 时 $s = 0, v = 0$ ），加速度为 $a (t) = 4 t - 6 ms^{- 2}$ 。求位移函数 $s (t)$ 。

1
对加速度积分得到速度，包含积分常数：
2
$v(t) = \int (4t - 6) dt = 2t^2 - 6t + C$
3
利用初始条件 $v (0) = 0$ 求 $C$ ：
4
$0 = 2(0)^2 - 6(0) + C \implies C = 0$
5
对速度积分得到位移，引入新的常数：
6
$s(t) = \int (2t^2 - 6t) dt = \frac{2}{3}t^3 - 3t^2 + D$
7
利用初始条件 $s (0) = 0$ 求 $D$ ：
8
$0 = 0 - 0 + D \implies D = 0$
9
最终位移函数： $s (t) = \frac{2}{3} t^{3} - 3 t^{2}$ 米。

✓ 快速检测

测试你对积分常数的理解：

一个质点的速度为 $v (t) = 3 t^{2} + 2$ ，且 $s (1) = 5$ 。求 $s (t)$ 时积分常数 $C$ 的值是多少？
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显示答案
2 —
正确： $s (t) = t^{3} + 2 t + C$ ，代入 $s (1) = 5$ ： $5 = 1 + 2 + C ⟹ C = 2$

3. 总路程的计算★★★★☆⏱ 20 min

考试中非常常见的问题是要求总路程，而非位移。位移仅测量从起点到终点的位置净变化，而总路程测量所有运动的长度，即使质点改变方向也要计算进去。

📘 定义

总路程

在时间区间 $[a, b]$ 内，总路程是速度绝对值的积分。质点在 $v (t) = 0$ 时改变方向，因此需要在所有这类点处拆分区间，然后将每个子区间积分的绝对值相加。

\text{Total Distance} = \int_a^b |v(t)| dt

📐 例题

已知质点的速度为 $v (t) = 6 t^{2} - 30 t + 36$ ，求 $t = 0$ 到 $t = 4$ 秒之间的总路程。

1
找出区间内所有满足 $v (t) = 0$ 的点：
2
$6t^2 - 30t + 36 = 6(t-2)(t-3) = 0 \implies t=2, t=3$
3
检查每个子区间上 $v (t)$ 的符号： $[0, 2]$ 上 $v > 0$ ， $[2, 3]$ 上 $v < 0$ ， $[3, 4]$ 上 $v > 0$
4
建立总路程的积分式：
5
$D = \int_0^2 v(t) dt + \int_2^3 -v(t) dt + \int_3^4 v(t) dt$
6
利用原函数 $s (t) = 2 t^{3} - 15 t^{2} + 36 t + 4$ 计算每个积分：
7
$\int_0^2 v(t) dt = s(2)-s(0) = 32 - 4 = 32$
8
$\int_2^3 -v(t) dt = -(s(3)-s(2)) = -(31-32) = 1$
9
$\int_3^4 v(t) dt = s(4)-s(3) = 36 - 31 = 5$
10
将结果相加： $D = 32 + 1 + 5 = 38$ 。总路程是 38 米。

4. 常见陷阱

错误做法:

题目要求总路程时回答成位移

原因:

位移计算更快，且题目表述容易读错

正确做法:

开始计算前一定要先确认关键词是"路程"还是"位移"

错误做法:

忘记求解积分常数

原因:

人们常常不检查给定的初始条件，就直接假设常数为零

正确做法:

积分后一定要写上 $+ C$ ，然后利用给定的初始条件显式求解 $C$

错误做法:

没有在 $v (t) = 0$ 的点处拆分积分

原因:

直接在整个区间上积分 $v (t)$ 会抵消正负面积，得到的是位移而非路程

正确做法:

先找出时间区间内所有 $v (t)$ 的根，然后在每个根处拆分积分

错误做法:

最终答案忘记加单位

原因:

运动学问题是应用型问题，单位是必须的，但很容易被遗漏

正确做法:

注意题目给出的单位，在最终答案中加上正确的单位

5. 速查表

物理量	微分关系	积分关系
速度	$v = \frac{d s}{d t}$	$v = \int a d t + C$
加速度	$a = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} s}{d t ^{2}}$	不适用
位移	不适用	$s = \int v d t + C$
区间 $[a, b]$ 总路程	不适用	$\int_{a}^{b} ∣ v (t) ∣ d t$ , split at $v (t) = 0$

下一步

微积分的运动学应用是IB AI SL考试中Paper 1和Paper 2都常考的核心应用微积分考点。这里的概念直接联系了「导数是变化率」和「积分是变化累积」的核心思想，能巩固你对微积分核心原理的理解。掌握本主题能帮助你应对考试中其他涉及变化率的应用问题，也建立在你之前课程中学到的基础运动学知识之上。它也是长答问题的常见考点，因此确保你对所有步骤都熟练掌握，能帮助你在这些高分值题目中拿到满分。