# 微积分的运动学应用

> IB 数学：应用与解释 SL · 第5单元：微积分
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-kinematic-applications-of-calculus/

本子主题将微积分概念与直线运动结合，通过微分和积分建立位移、速度和加速度的联系。你将学习如何求解未知运动学量，并计算给定时间间隔内的运动总路程。

**先修:** [基本函数的求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-basic-differentiation/); [基本不定积分与定积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-basic-integration/); 运动学量的基本定义

## 学习目标

- 利用导数和积分建立位移、速度和加速度的关系
- 求解带初始条件的直线运动问题
- 根据速度函数计算总路程
- 解读并解答考试中常见的运动学问题

## 运动学量之间的关系

**核心运动学关系** — 对于直线运动，速度是位移对时间的一阶导数。加速度是速度对时间的一阶导数（或位移对时间的二阶导数）。反向推导时，对加速度积分得速度，对速度积分得位移。

*记法:* \frac{ds}{dt} = v, \quad \frac{dv}{dt} = a = \frac{d^2s}{dt^2}

所有量都是带符号的：正值表示沿一个方向运动，负值表示沿相反方向运动。这种符号约定让我们可以用微积分自然地描述方向变化。

**例题:** 质点的位移为 $s(t) = 2t^3 - 15t^2 + 36t + 4$，其中 $s$ 单位为米，$t$ 单位为秒，$t \geq 0$。求速度函数和加速度函数。

1. 速度是位移的一阶导数：
2. $$v(t) = \frac{d}{dt}\left(2t^3 - 15t^2 + 36t + 4\right) = 6t^2 - 30t + 36 = 6(t-2)(t-3)$$
3. 加速度是速度的一阶导数：
4. $$a(t) = \frac{d}{dt}\left(6t^2 - 30t + 36\right) = 12t - 30$$
5. 带单位的最终答案：$v(t) = 6t^2 - 30t + 36 \, \text{ms}^{-1}$ 和 $a(t) = 12t - 30 \, \text{ms}^{-2}$。

> **exam_tip**
>
> 最终答案中一定要为运动学量加上正确单位，考试中单位通常会占分。

## 初始条件与未知量求解

当对加速度积分求速度、或对速度积分求位移时，你会得到积分常数。你需要一个初始条件（即给定时间（通常为$t=0$）下该量的已知值）来求解这个常数。常见的初始条件有

- 从静止开始：$v(0) = 0$
- 从原点出发：$s(0) = 0$
- 初始位移：$s(0) = s_0$

**例题:** 一个质点从原点静止出发（$t=0$ 时 $s=0, v=0$），加速度为 $a(t) = 4t - 6 \, \text{ms}^{-2}$。求位移函数 $s(t)$。

1. 对加速度积分得到速度，包含积分常数：
2. $$v(t) = \int (4t - 6) dt = 2t^2 - 6t + C$$
3. 利用初始条件 $v(0) = 0$ 求 $C$：
4. $$0 = 2(0)^2 - 6(0) + C \implies C = 0$$
5. 对速度积分得到位移，引入新的常数：
6. $$s(t) = \int (2t^2 - 6t) dt = \frac{2}{3}t^3 - 3t^2 + D$$
7. 利用初始条件 $s(0) = 0$ 求 $D$：
8. $$0 = 0 - 0 + D \implies D = 0$$
9. 最终位移函数：$s(t) = \frac{2}{3}t^3 - 3t^2$ 米。

**概念自测**

测试你对积分常数的理解：

1. 一个质点的速度为 $v(t) = 3t^2 + 2$，且 $s(1) = 5$。求 $s(t)$ 时积分常数 $C$ 的值是多少？

   - 1
   - 2
   - 3
   - 4

   *解析:* 正确：$s(t) = t^3 + 2t + C$，代入 $s(1)=5$：$5 = 1 + 2 + C \implies C=2$

## 总路程的计算

考试中非常常见的问题是要求总路程，而非位移。位移仅测量从起点到终点的位置净变化，而总路程测量所有运动的长度，即使质点改变方向也要计算进去。

**总路程** — 在时间区间 $[a,b]$ 内，总路程是速度绝对值的积分。质点在 $v(t) = 0$ 时改变方向，因此需要在所有这类点处拆分区间，然后将每个子区间积分的绝对值相加。

$$\text{Total Distance} = \int_a^b |v(t)| dt$$

**例题:** 已知质点的速度为 $v(t) = 6t^2 - 30t + 36$，求 $t=0$ 到 $t=4$ 秒之间的总路程。

1. 找出区间内所有满足 $v(t) = 0$ 的点：
2. $$6t^2 - 30t + 36 = 6(t-2)(t-3) = 0 \implies t=2, t=3$$
3. 检查每个子区间上 $v(t)$ 的符号：$[0,2]$ 上 $v>0$，$[2,3]$ 上 $v<0$，$[3,4]$ 上 $v>0$
4. 建立总路程的积分式：
5. $$D = \int_0^2 v(t) dt + \int_2^3 -v(t) dt + \int_3^4 v(t) dt$$
6. 利用原函数 $s(t) = 2t^3 - 15t^2 + 36t + 4$ 计算每个积分：
7. $$\int_0^2 v(t) dt = s(2)-s(0) = 32 - 4 = 32$$
8. $$\int_2^3 -v(t) dt = -(s(3)-s(2)) = -(31-32) = 1$$
9. $$\int_3^4 v(t) dt = s(4)-s(3) = 36 - 31 = 5$$
10. 将结果相加：$D = 32 + 1 + 5 = 38$。总路程是 38 米。

> **exam_tip**
>
> 一定要仔细读题：70% 的学生会在题目要求总路程时答错成位移，因此失分。

## 常见错误

- **错误做法:** 题目要求总路程时回答成位移
  - 原因: 位移计算更快，且题目表述容易读错
  - 正确做法: 开始计算前一定要先确认关键词是"路程"还是"位移"
- **错误做法:** 忘记求解积分常数
  - 原因: 人们常常不检查给定的初始条件，就直接假设常数为零
  - 正确做法: 积分后一定要写上 $+C$，然后利用给定的初始条件显式求解 $C$
- **错误做法:** 没有在 $v(t)=0$ 的点处拆分积分
  - 原因: 直接在整个区间上积分 $v(t)$ 会抵消正负面积，得到的是位移而非路程
  - 正确做法: 先找出时间区间内所有 $v(t)$ 的根，然后在每个根处拆分积分
- **错误做法:** 最终答案忘记加单位
  - 原因: 运动学问题是应用型问题，单位是必须的，但很容易被遗漏
  - 正确做法: 注意题目给出的单位，在最终答案中加上正确的单位

## 速查表

| 物理量 | 微分关系 | 积分关系 |
| --- | --- | --- |
| 速度 | $v = \frac{ds}{dt}$ | $v = \int a \, dt + C$ |
| 加速度 | $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}$ | 不适用 |
| 位移 | 不适用 | $s = \int v \, dt + C$ |
| 区间 $[a,b]$ 总路程 | 不适用 | $\int_a^b \|v(t)\| dt$, split at $v(t)=0$ |

## 下一步

微积分的运动学应用是IB AI SL考试中Paper 1和Paper 2都常考的核心应用微积分考点。这里的概念直接联系了「导数是变化率」和「积分是变化累积」的核心思想，能巩固你对微积分核心原理的理解。掌握本主题能帮助你应对考试中其他涉及变化率的应用问题，也建立在你之前课程中学到的基础运动学知识之上。它也是长答问题的常见考点，因此确保你对所有步骤都熟练掌握，能帮助你在这些高分值题目中拿到满分。

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-kinematic-applications-of-calculus/