多项式的不定积分

IB 数学：应用与解释 SL· 35 分钟阅读

1. 什么是不定积分？★☆☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

不定积分

\int f(x)dx

函数 $f (x)$ 所有可能原函数的集合，集合中任意原函数的导数都等于原函数 $f (x)$ 。

例:

$2 x$ 的一个原函数是 $x^{2}$ ，另一个是 $x^{2} + 3$ ，因此不定积分是 $x^{2} + C$

积分是求导的逆运算。如果你知道一个函数的导数，积分可以让你还原出原函数，结果相差一个未知常数。因为任意常数的导数都是零，给函数加常数不会改变它的导数，这就是为什么所有不定积分都需要添加任意积分常数 $C$ 。

📐 例题

验证 $F (x) = 2 x^{3} + 4 x - 5$ 是 $f (x) = 6 x^{2} + 4$ 的一个原函数

1
使用求导幂法则对 $F (x)$ 逐项求导
2
$F'(x) = \frac{d}{dx}\left(2x^3\right) + \frac{d}{dx}\left(4x\right) - \frac{d}{dx}\left(5\right) = 6x^2 + 4 - 0$
3
由于 $F^{'} (x) = f (x)$ ，因此 $F (x)$ 确为 $f (x)$ 的一个原函数

Exam tip:

一定要在最终不定积分结果后添加 $+ C$ ——阅卷官经常会因为遗漏扣分。

2. 积分的幂法则★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

不定积分的幂法则

\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1

对于任意不等于 $- 1$ 的实数 $n$ ， $x^{n}$ 的不定积分计算方法为：指数加1，除以新的指数，再加上积分常数。

例:

$\int 3 x^{2} d x = 3 \cdot \frac{x ^{3}}{3} + C = x^{3} + C$

和逐项求导类似，积分完整多项式时需要对每一项分别积分。积分是线性运算，即 $\int (a f (x) + b g (x)) d x = a \int f (x) d x + b \int g (x) d x$ 。

📐 例题

求 $f (x) = 3 x^{2} + 4 x - 5$ 的不定积分

1
使用幂法则对每一项分别积分
2
$\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = x^3$
3
$\int 4x dx = 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2x^2$
4
$\int -5 dx = \int -5x^0 dx = -5 \cdot \frac{x^{0+1}}{0+1} = -5x$
5
合并结果并添加积分常数 $C$
6
$\int (3x^2 + 4x -5) dx = x^3 + 2x^2 - 5x + C$

3. 求积分常数★★★☆☆⏱ 15 min

如果题目给出初始条件（原函数经过的点），你就可以求解出 $C$ 的具体值，得到唯一的原函数而非一族曲线，这是考试中非常常见的题型。

📐 例题

已知 $\frac{d y}{d x} = 2 x + 3$ ，且当 $x = 1$ 时 $y = 5$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的表达式

1
先求出一般不定积分，得到 $y$ 的通式
2
$y = \int (2x + 3) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^2 + 3x + C$
3
代入已知值 $x = 1, y = 5$ 到方程中求解 $C$
4
$5 = (1)^2 + 3(1) + C \rightarrow 5 = 1 + 3 + C$
5
求解 $C$ ： $C = 5 - 4 = 1$
6
写出最终唯一的原函数
7
$y = x^2 + 3x + 1$

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如果 $y = \int f (x) d x = 2 x^{2} + 3 x + C$ ，且当 $x = 2$ 时 $y = 10$ ， $C$ 的值是多少？
- 10
- -4
- 0
- 4
显示答案
-4 —
代入 $x = 2, y = 10$ ： $10 = 2 (2)^{2} + 3 (2) + C = 8 + 6 + C$ ，因此 $C = 10 - 14 = - 4$

Exam tip:

一定要把初始条件代入原函数（积分后的函数）而不是原导数来求 $C$ 。

4. 常见陷阱

错误做法:

忘记在最终结果后添加积分常数 $C$

原因:

即使其他步骤全部正确，阅卷者几乎总会因为遗漏 $C$ 扣1分

正确做法:

在求解初始条件的具体 $C$ 之前，每次不定积分结果后都要写上 $+ C$

错误做法:

错误应用幂法则，乘以 $n + 1$ 而不是除以

原因:

混淆了积分幂法则和求导幂法则，求导时是乘以原指数

正确做法:

记住法则：指数加1，除以新指数

错误做法:

积分常数项 $k$ 时结果仅为 $C$ ，而非 $k x + C$

原因:

混淆了被积分的常数和任意积分常数

正确做法:

把 $k$ 看作 $k x^{0}$ ，积分后得到 $k x$ ，再给整个结果添加 $C$

错误做法:

把初始条件代入原导数而不是原函数

原因:

混淆了不同函数的含义；初始条件是原函数曲线上的点

正确做法:

一定要把给定的 $(x, y)$ 代入积分后的函数来求解 $C$

5. 速查表

法则	公式	要点
幂法则 ( $n \neq = - 1$ )	$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$	指数加1，除以新指数
常数倍法则	$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$	积分前提出常数
逐项积分	$\int (f + g) d x = \int f d x + \int g d x$	多项式每一项分别积分
求 $C$	Substitute $(x, y)$ into $F (x) = \int f (x) d x + C$	初始条件属于 $F (x)$ ，不是 $f (x)$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
给定初始条件求 $C$
2022 · 1
积分三次多项式
2023 · 2
积分并求特定原函数

下一步

掌握多项式的不定积分是IB AI SL所有后续积分主题的基础。接下来你将学习定积分，定积分可以用来计算曲线下的面积，这是微积分最常见的应用之一。这项技能也是求解微分方程的基础，微分方程用来建模人口增长、冷却、放射性衰变等现实世界现象，是你的IA和期末考试的核心主题。