# 多项式的不定积分

> IB 数学：应用与解释 SL · IB AI SL 第5单元：微积分
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-indefinite-integration-of-polynomials/

本子主题讲解如何使用积分幂法则求多项式函数的原函数（不定积分），你还将学习如何在给定初始条件时计算积分常数。

**先修:** [多项式求导的幂法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-differentiation-of-polynomials/); 基础多项式代数运算

## 学习目标

- 回顾原函数与不定积分的定义
- 应用幂法则求多项式的不定积分
- 解释积分常数的作用
- 给定初始条件时求解积分常数

## 什么是不定积分？

**不定积分** — 函数$f(x)$所有可能原函数的集合，集合中任意原函数的导数都等于原函数$f(x)$。

*记法:* \int f(x)dx

*例:* $2x$的一个原函数是$x^2$，另一个是$x^2 + 3$，因此不定积分是$x^2 + C$

积分是求导的逆运算。如果你知道一个函数的导数，积分可以让你还原出原函数，结果相差一个未知常数。因为任意常数的导数都是零，给函数加常数不会改变它的导数，这就是为什么所有不定积分都需要添加任意积分常数$C$。

**例题:** 验证$F(x) = 2x^3 + 4x - 5$是$f(x) = 6x^2 + 4$的一个原函数

1. 使用求导幂法则对$F(x)$逐项求导
2. $$F'(x) = \frac{d}{dx}\left(2x^3\right) + \frac{d}{dx}\left(4x\right) - \frac{d}{dx}\left(5\right) = 6x^2 + 4 - 0$$
3. 由于$F'(x) = f(x)$，因此$F(x)$确为$f(x)$的一个原函数

> **考试提示:** 一定要在最终不定积分结果后添加$+C$——阅卷官经常会因为遗漏扣分。

## 积分的幂法则

**不定积分的幂法则** — 对于任意不等于$-1$的实数$n$，$x^n$的不定积分计算方法为：指数加1，除以新的指数，再加上积分常数。

*记法:* \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1

*例:* $\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x^3 + C$

和逐项求导类似，积分完整多项式时需要对每一项分别积分。积分是线性运算，即$\int (af(x) + bg(x)) dx = a\int f(x)dx + b\int g(x)dx$。

> **tip**
>
> 你总是可以通过对积分结果求导来验证计算——如果计算正确，求导后会得到原函数。

**例题:** 求$f(x) = 3x^2 + 4x - 5$的不定积分

1. 使用幂法则对每一项分别积分
2. $$\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = x^3$$
3. $$\int 4x dx = 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2x^2$$
4. $$\int -5 dx = \int -5x^0 dx = -5 \cdot \frac{x^{0+1}}{0+1} = -5x$$
5. 合并结果并添加积分常数$C$
6. $$\int (3x^2 + 4x -5) dx = x^3 + 2x^2 - 5x + C$$

## 求积分常数

如果题目给出初始条件（原函数经过的点），你就可以求解出$C$的具体值，得到唯一的原函数而非一族曲线，这是考试中非常常见的题型。

**例题:** 已知$\frac{dy}{dx} = 2x + 3$，且当$x = 1$时$y = 5$，求$y$关于$x$的表达式

1. 先求出一般不定积分，得到$y$的通式
2. $$y = \int (2x + 3) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^2 + 3x + C$$
3. 代入已知值$x=1, y=5$到方程中求解$C$
4. $$5 = (1)^2 + 3(1) + C \rightarrow 5 = 1 + 3 + C$$
5. 求解$C$：$C = 5 - 4 = 1$
6. 写出最终唯一的原函数
7. $$y = x^2 + 3x + 1$$

**概念自测**

测试你的理解

1. 如果$y = \int f(x) dx = 2x^2 + 3x + C$，且当$x = 2$时$y = 10$，$C$的值是多少？

   - 10
   - -4
   - 0
   - 4

   *解析:* 代入$x=2, y=10$：$10 = 2(2)^2 + 3(2) + C = 8 + 6 + C$，因此$C = 10 - 14 = -4$

> **考试提示:** 一定要把初始条件代入原函数（积分后的函数）而不是原导数来求$C$。

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记在最终结果后添加积分常数$C$
  - 原因: 即使其他步骤全部正确，阅卷者几乎总会因为遗漏$C$扣1分
  - 正确做法: 在求解初始条件的具体$C$之前，每次不定积分结果后都要写上$+C$
- **错误做法:** 错误应用幂法则，乘以$n+1$而不是除以
  - 原因: 混淆了积分幂法则和求导幂法则，求导时是乘以原指数
  - 正确做法: 记住法则：指数加1，除以新指数
- **错误做法:** 积分常数项$k$时结果仅为$C$，而非$kx + C$
  - 原因: 混淆了被积分的常数和任意积分常数
  - 正确做法: 把$k$看作$kx^0$，积分后得到$kx$，再给整个结果添加$C$
- **错误做法:** 把初始条件代入原导数而不是原函数
  - 原因: 混淆了不同函数的含义；初始条件是原函数曲线上的点
  - 正确做法: 一定要把给定的$(x,y)$代入积分后的函数来求解$C$

## 速查表

| 法则 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 幂法则 ($n \neq -1$) | $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | 指数加1，除以新指数 |
| 常数倍法则 | $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$ | 积分前提出常数 |
| 逐项积分 | $\int (f+g)dx = \int f dx + \int g dx$ | 多项式每一项分别积分 |
| 求$C$ | Substitute $(x,y)$ into $F(x) = \int f(x)dx + C$ | 初始条件属于$F(x)$，不是$f(x)$ |

## 下一步

掌握多项式的不定积分是IB AI SL所有后续积分主题的基础。接下来你将学习定积分，定积分可以用来计算曲线下的面积，这是微积分最常见的应用之一。这项技能也是求解微分方程的基础，微分方程用来建模人口增长、冷却、放射性衰变等现实世界现象，是你的IA和期末考试的核心主题。

- [定积分与曲线下面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-definite-integrals-and-area-under/)
- [微积分的运动学应用](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-kinematic-applications-of-calculus/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-indefinite-integration-of-polynomials/