导数作为切线斜率与变化率

IB 数学：应用与解释 SL· 主题5：微积分 5.1 求导入门· 15 分钟阅读

1. 切线与割线斜率近似★☆☆☆☆⏱ 15 min

要求非线性曲线上某一特定点的斜率，我们首先用割线进行近似。割线连接曲线上的两个点，而切线仅在局部一个点处与曲线相切，且斜率与曲线在该点的斜率相等。

m_{\text{secant}} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

📘 定义

割线与切线

割线与曲线交于两个点，得到这两个点之间的平均斜率。切线在一个局部点处与曲线相切，得到该点处的精确斜率。

📐 例题

用 $h = 0.1$ 的割线近似计算 $f (x) = x^{2}$ 在 $x = 3$ 处的斜率。

1
计算 $f (3)$ ：
2
$f(3) = 3^2 = 9$
3
计算 $f (3 + 0.1) = f (3.1)$ ：
4
$f(3.1) = (3.1)^2 = 9.61$
5
代入割线斜率公式：
6
$m_{\text{secant}} = \frac{9.61 - 9}{0.1} = \frac{0.61}{0.1} = 6.1$
7
$x = 3$ 处斜率的近似值为6.1，非常接近精确值6。

2. 导数作为切线的斜率★★☆☆☆⏱ 20 min

当 $h$ 趋近于0时，曲线上的第二个点会越来越接近原始点 $(a, f (a))$ ，因此割线会趋近于切线。当 $h \to 0$ 时取割线斜率的极限，就得到切线的精确斜率，也就是该点处的导数。

📘 定义

某点处的导数

$f^{'} (a)$ or $\frac{d y}{d x}_{x = a}$

曲线 $y = f (x)$ 在 $x = a$ 处切线的精确斜率，定义为区间长度趋于零时割线斜率的极限。

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

📐 例题

从第一原理求 $f (x) = x^{2}$ 在 $x = 3$ 处切线的精确斜率。

1
从第一原理公式出发，其中 $a = 3$ ：
2
$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h}$
3
展开并化简分子：
4
$f(3+h) - f(3) = (3+h)^2 - 9 = 9 + 6h + h^2 - 9 = 6h + h^2$
5
约去 $h$ （对 $h \neq = 0$ 成立）：
6
$\frac{6h + h^2}{h} = 6 + h$
7
取 $h \to 0$ 的极限：
8
$\lim_{h \to 0} (6 + h) = 6$
9
$x = 3$ 处切线的精确斜率为 $6$ ，因此 $f^{'} (3) = 6$ 。

3. 导数作为瞬时变化率★★☆☆☆⏱ 20 min

除了图像解释之外，导数还有一个核心的应用意义：它是因变量相对于自变量的瞬时变化率。这与区间上的平均变化率不同。

📘 定义

平均变化率与瞬时变化率

区间上的平均变化率等于区间端点之间割线的斜率。某点处的瞬时变化率等于该点处的导数（切线斜率）。

📐 例题

水箱中 $t$ 分钟后的水量由 $V (t) = 100 t - 2 t^{2}$ 给出，其中 $V$ 的单位是升。求 $t = 10$ 时体积的瞬时变化率并解释结果。

1
首先用幂函数求导法则得到 $V (t)$ 的导数：
2
$V'(t) = 100 - 4t$
3
代入 $t = 10$ 得到瞬时变化率：
4
$V'(10) = 100 - 4(10) = 60$
5
解释：在 $t = 10$ 分钟时，水箱中的水量以每分钟60升的速率增加。

✓ 快速检测

测试你对导数符号的理解：

如果在 $t = 20$ 时 $V^{'} (t) = - 15$ ，这意味着什么？
- A)
  $t = 20$ 时体积为15升
- B)
  $t = 20$ 时体积以每分钟15升的速率减少
- C)
  $t = 0$ 到 $t = 20$ 之间体积增加了15升
- D)
  $t = 25$ 时体积将为-15升
显示答案
B —
正确！负导数意味着函数（体积）在该点处是递减的，单位是（因变量单位）每（自变量单位）。

4. 常见陷阱

错误做法:

混淆平均变化率与瞬时变化率

原因:

考试经常要求其中一个，但学生算出了另一个。平均变化率针对区间，瞬时变化率针对点。

正确做法:

务必仔细读题：如果题目要求区间上的变化率，计算割线斜率；如果题目要求某点处的变化率，计算导数。

错误做法:

在第一原理计算中化简前就代入 $h = 0$

原因:

这会得到无定义的 $\frac{0}{0}$ 结果，无法计算。

正确做法:

始终先展开分子，提出 $h$ ，约去 $h$ ，再取 $h \to 0$ 的极限。

错误做法:

求变化率时计算了 $f (a)$ 而非 $f^{'} (a)$

原因:

学生经常混淆函数值与其导数值。

正确做法:

当题目要求变化率时，始终先求导，再代入输入值。

错误做法:

假设 $f^{'} (a) = 0$ 就意味着 $x = a$ 处是最大值或最小值

原因:

导数为零仅说明切线是水平的，不代表它一定是极值点。

正确做法:

导数为零说明是驻点，但你需要检查两侧导数的符号才能确认它是最大值还是最小值。

5. 速查表

概念	公式 / 解释	类型
割线斜率（平均变化率）	$\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$	区间
$x = a$ 处的导数（切线斜率）	$lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$	点
$f^{'} (a) > 0$	函数在 $x = a$ 处递增	图像
$f^{'} (a) < 0$	函数在 $x = a$ 处递减	图像
$f^{'} (a) = 0$	水平切线，驻点	图像
情境中的 $f^{'} (t)$	$f$ 每单位 $t$ 的变化率	应用

6. 常见问题

考试中我需要从第一原理计算导数吗？

对于IB AI SL考试，你很少需要从第一原理计算导数。但是，你必须理解第一原理的定义，才能解答关于导数作为斜率和变化率的解释类题目，因此记住极限公式非常重要。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
将导数解释为变化率
2022 · 1
计算某点处切线的斜率
2023 · 2
由导数求解实际问题中的速度

深入阅读

syllabusIB AI SL 微积分大纲主题5.1的官方参考资料

下一步

这个导数的核心定义是你在IB AI SL中将学习的所有微积分的基础。现在你已经理解了导数既是切线斜率又是瞬时变化率的含义，接下来可以学习常见函数的高效求导法则，不需要每次都使用极限定义。这些法则将让你能够解决更复杂的问题，包括求极值点、优化面积或成本等量，以及对真实世界的动态系统建模，所有这些内容在IB AI SL考试中都占很大比重。