定积分与曲线下面积

IB 数学：应用与解释 SL· 10 分钟阅读

1. 定积分与微积分基本定理★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

定积分

$\int_{a}^{b} f (x) d x$

曲线 $y = f (x)$ 与x轴、竖线 $x = a$ （下限）和 $x = b$ （上限）之间的净带符号面积，可通过微积分基本定理（FTC）计算。

例:

$\int_{0}^{2} 2 x d x$ 是 $2 x$ 从0到2的定积分。

微积分基本定理连接了微分与积分，对于大多数可积函数，无需再用矩形近似面积。核心规则是：

\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \quad \text{where} \quad F'(x) = f(x)

📐 例题

计算定积分 $\int_{1}^{3} (2 x + 1) d x$

1
1. 求 $(2 x + 1)$ 的原函数。积分常数在定积分中会抵消，因此可以忽略。
2
$F(x) = \int (2x + 1) dx = x^2 + x$
3
1. 分别计算 $F (x)$ 在上限 $x = 3$ 和下限 $x = 1$ 处的值：
4
$F(3) = 3^2 + 3 = 12, \quad F(1) = 1^2 + 1 = 2$
5
1. 用上限值减去下限值：
6
$F(3) - F(1) = 12 - 2 = 10$
7
最终结果： $\int_{1}^{3} (2 x + 1) d x = 10$

2. 完全位于x轴上方的曲线的面积计算★★☆☆☆⏱ 3 min

当 $[a, b]$ 内所有 $x$ 都满足 $f (x) \geq 0$ 时，曲线与x轴之间的整个区域都在x轴上方。这种情况下，定积分的值正好等于该区域的几何面积，因此不需要额外调整。

📐 例题

求曲线 $y = x^{2} + 1$ 在 $x = 0$ 到 $x = 2$ 之间的曲线下面积

1
1. 检查函数在 $[0, 2]$ 上的符号： $x^{2}$ 恒为非负，因此 $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ ，整个区域都在x轴上方。
2
1. 求原函数：
3
$F(x) = \frac{x^3}{3} + x$
4
1. 应用微积分基本定理得到面积：
5
$F(2) - F(0) = \left(\frac{8}{3} + 2\right) - 0 = \frac{14}{3} \approx 4.67$
6
面积 = $\frac{14}{3} \approx 4.67$ 平方单位。

3. 曲线穿过x轴时的面积计算★★★☆☆⏱ 4 min

当 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 的任意部分为负时，定积分计算的是净带符号面积，x轴下方的区域会贡献负值。这意味着定积分的值会小于总几何面积。要得到总面积，需要在每个x截点处拆分积分，分别对每个区间积分，对每个结果取绝对值，再相加。

📘 定义

总几何面积

曲线与x轴之间各区域带符号面积的绝对值之和。与定积分（可为负）不同，总几何面积始终非负。

📐 例题

求 $y = x$ 与x轴在 $x = - 2$ 到 $x = 3$ 之间的总面积

1
1. 求x截点： $y = x = 0$ 时 $x = 0$ 。 $x < 0$ 时 $y < 0$ ， $x > 0$ 时 $y > 0$ 。
2
1. 将积分拆分为两个区间： $[- 2, 0]$ 和 $[0, 3]$ 。求原函数得 $F (x) = \frac{x ^{2}}{2}$ 。
3
1. 分别计算每个定积分：
4
$\int_{-2}^0 x dx = F(0) - F(-2) = 0 - 2 = -2$
5
$\int_0^3 x dx = F(3) - F(0) = 4.5 - 0 = 4.5$
6
1. 取绝对值后相加得到总面积：
7
$\text{Area} = |-2| + |4.5| = 6.5 = \frac{13}{2} \text{ 平方单位}$
8
注意：净定积分的值为 $2.5$ ，不等于总面积。

4. 使用图形计算器（GDC）计算定积分★★☆☆☆SL 专属⏱ 2 min

✓ 计算器

对于IB AI SL，你可以使用图形显示计算器（GDC）直接计算定积分，即使是指数函数、三角函数或高阶多项式这类手工积分很耗时的复杂函数也可以。

📐 例题

使用GDC计算 $\int_{0}^{π} sin (x) d x$ ，结果保留三位有效数字

1
1. 在GDC上绘制 $y = sin (x)$ 的图像，确认它在 $[0, π]$ 上非负。
2
1. 打开GDC的积分功能，选中你的函数，输入下限 $0$ 和上限 $π$ 。
3
1. GDC输出结果为2.00，与解析计算结果一致：
4
$\int_0^\pi \sin(x) dx = -\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2$
5
最终结果： $2.00$ （三位有效数字）

5. 常见陷阱

错误做法:

忘记在x截点处拆分积分，直接从 $a$ 到 $b$ 积分。

原因:

这样得到的是净带符号面积，而题目几乎总是要求计算总几何面积。

正确做法:

检查 $a$ 和 $b$ 之间的x截点，在每个截点拆分积分，然后将每个积分结果取绝对值相加。

错误做法:

用 $F (a)$ （下限值）减去 $F (b)$ （上限值），而非反过来计算。

原因:

交换积分限顺序会改变积分的符号，导致得到错误的负面积值。

正确做法:

始终记住微积分基本定理：定积分等于 $F (上限) - F (下限)$ 。

错误做法:

对整个积分取绝对值，而非对每个拆分后的积分分别取绝对值。

原因:

正负面积会在绝对值内部抵消，得到的面积会比正确值小。

正确做法:

在每个截点拆分积分，对每个分开的结果取绝对值，然后求和。

错误做法:

只写出GDC的最终结果，没有先写出积分表达式。

原因:

阅卷人会给正确的步骤书写给方法分，如果只写最终数字，你会丢失这些分数。

正确做法:

在写出GDC结果前，务必在解题过程中明确写出完整的定积分表达式。

6. 速查表

情况	面积公式	要点
$f (x) \geq 0$ 在 $[a, b]$ 上	面积 = $\int_{a}^{b} f (x) d x$	无需调整
$f (x) \leq 0$ 在 $[a, b]$ 上	面积 = $\int_{a}^{b} f (x) d x$	定积分为负，翻转符号得到面积
在 $c \in (a, b)$ 处穿过x轴一次	面积 = $\int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$	在截点拆分，绝对值相加
微积分基本定理规则	$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a), F^{'} (x) = f (x)$	积分常数会抵消

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · 2
计算二次曲线下的面积
2023 · 1
计算指数函数的定积分
2022 · 2
求曲线与x轴之间的面积

下一步

现在你已经理解了定积分和单曲线下的面积，你可以将这个知识扩展到IB AI SL考试中常见的更高级的积分问题。下一步是学习如何计算两条不同曲线之间的面积，它使用拆分积分和绝对值的相同核心思想，只是被积函数不同。你也可以在这个基础上学习积分在运动学中的应用，其中定积分被用来从速度函数计算位移和总路程。本主题也是学习换元积分法的基础，换元积分法是用来积分第一卷中频繁出现的更复杂函数的方法。

→微积分的运动学应用