# 定积分与曲线下面积

> IB 数学：应用与解释 SL · IB AI SL 第五单元：微积分
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-definite-integrals-and-area-under/

本单元讲解如何利用微积分基本定理计算定积分，以及计算曲线与x轴之间的面积。你将学习净带符号面积与总几何面积的核心区别。

**先修:** [不定积分与基本原函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-indefinite-integration-antiderivatives/); [函数绘图与截距](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-functions-graphs/)

## 学习目标

- 利用原函数和微积分基本定理计算定积分
- 计算给定区间内曲线与x轴之间的面积
- 区分净带符号面积（定积分值）与总几何面积
- 在考试风格题目中使用图形计算器（GDC）计算定积分

## 定积分与微积分基本定理

**定积分** — 曲线$y = f(x)$与x轴、竖线$x=a$（下限）和$x=b$（上限）之间的净带符号面积，可通过微积分基本定理（FTC）计算。

*记法:* $\int_a^b f(x) \, dx$

*例:* $\int_0^2 2x dx$ 是$2x$从0到2的定积分。

微积分基本定理连接了微分与积分，对于大多数可积函数，无需再用矩形近似面积。核心规则是：

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \quad \text{where} \quad F'(x) = f(x)$$

**例题:** 计算定积分 $\int_1^3 (2x + 1) dx$

1. 1. 求$(2x + 1)$的原函数。积分常数在定积分中会抵消，因此可以忽略。
2. $$F(x) = \int (2x + 1) dx = x^2 + x$$
3. 2. 分别计算$F(x)$在上限$x=3$和下限$x=1$处的值：
4. $$F(3) = 3^2 + 3 = 12, \quad F(1) = 1^2 + 1 = 2$$
5. 3. 用上限值减去下限值：
6. $$F(3) - F(1) = 12 - 2 = 10$$
7. 最终结果：$\int_1^3 (2x + 1) dx = 10$

## 完全位于x轴上方的曲线的面积计算

当$[a, b]$内所有$x$都满足$f(x) \geq 0$时，曲线与x轴之间的整个区域都在x轴上方。这种情况下，定积分的值正好等于该区域的几何面积，因此不需要额外调整。

> **tip**
>
> 积分前务必检查函数在积分限之间是否穿过x轴。如果穿过，定积分的值不等于总面积。

**例题:** 求曲线$y = x^2 + 1$在$x=0$到$x=2$之间的曲线下面积

1. 1. 检查函数在$[0, 2]$上的符号：$x^2$恒为非负，因此$x^2 + 1 \geq 1 > 0$，整个区域都在x轴上方。
2. 2. 求原函数：
3. $$F(x) = \frac{x^3}{3} + x$$
4. 3. 应用微积分基本定理得到面积：
5. $$F(2) - F(0) = \left(\frac{8}{3} + 2\right) - 0 = \frac{14}{3} \approx 4.67$$
6. 面积 = $\frac{14}{3} \approx 4.67$ 平方单位。

## 曲线穿过x轴时的面积计算

当$f(x)$在$[a, b]$的任意部分为负时，定积分计算的是净带符号面积，x轴下方的区域会贡献负值。这意味着定积分的值会小于总几何面积。要得到总面积，需要在每个x截点处拆分积分，分别对每个区间积分，对每个结果取绝对值，再相加。

**总几何面积** — 曲线与x轴之间各区域带符号面积的绝对值之和。与定积分（可为负）不同，总几何面积始终非负。

**例题:** 求$y = x$与x轴在$x=-2$到$x=3$之间的总面积

1. 1. 求x截点：$y = x = 0$时$x=0$。$x < 0$时$y < 0$，$x>0$时$y > 0$。
2. 2. 将积分拆分为两个区间：$[-2, 0]$和$[0, 3]$。求原函数得$F(x) = \frac{x^2}{2}$。
3. 3. 分别计算每个定积分：
4. $$\int_{-2}^0 x dx = F(0) - F(-2) = 0 - 2 = -2$$
5. $$\int_0^3 x dx = F(3) - F(0) = 4.5 - 0 = 4.5$$
6. 4. 取绝对值后相加得到总面积：
7. $$\text{Area} = |-2| + |4.5| = 6.5 = \frac{13}{2} \text{ 平方单位}$$
8. 注意：净定积分的值为$2.5$，不等于总面积。

## 使用图形计算器（GDC）计算定积分

对于IB AI SL，你可以使用图形显示计算器（GDC）直接计算定积分，即使是指数函数、三角函数或高阶多项式这类手工积分很耗时的复杂函数也可以。

**例题:** 使用GDC计算$\int_0^\pi \sin(x) dx$，结果保留三位有效数字

1. 1. 在GDC上绘制$y = \sin(x)$的图像，确认它在$[0, \pi]$上非负。
2. 2. 打开GDC的积分功能，选中你的函数，输入下限$0$和上限$\pi$。
3. 3. GDC输出结果为2.00，与解析计算结果一致：
4. $$\int_0^\pi \sin(x) dx = -\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2$$
5. 最终结果：$2.00$（三位有效数字）

> **tip**
>
> 使用GDC前，务必在考试答题中写出积分表达式。即使最终答案错误，正确的步骤书写也能让你获得方法分。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记在x截点处拆分积分，直接从$a$到$b$积分。
  - 原因: 这样得到的是净带符号面积，而题目几乎总是要求计算总几何面积。
  - 正确做法: 检查$a$和$b$之间的x截点，在每个截点拆分积分，然后将每个积分结果取绝对值相加。
- **错误做法:** 用$F(a)$（下限值）减去$F(b)$（上限值），而非反过来计算。
  - 原因: 交换积分限顺序会改变积分的符号，导致得到错误的负面积值。
  - 正确做法: 始终记住微积分基本定理：定积分等于 $F(\text{上限}) - F(\text{下限})$。
- **错误做法:** 对整个积分取绝对值，而非对每个拆分后的积分分别取绝对值。
  - 原因: 正负面积会在绝对值内部抵消，得到的面积会比正确值小。
  - 正确做法: 在每个截点拆分积分，对每个分开的结果取绝对值，然后求和。
- **错误做法:** 只写出GDC的最终结果，没有先写出积分表达式。
  - 原因: 阅卷人会给正确的步骤书写给方法分，如果只写最终数字，你会丢失这些分数。
  - 正确做法: 在写出GDC结果前，务必在解题过程中明确写出完整的定积分表达式。

## 速查表

| 情况 | 面积公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| $f(x) \geq 0$ 在$[a,b]$上 | 面积 = $\int_a^b f(x) dx$ | 无需调整 |
| $f(x) \leq 0$ 在$[a,b]$上 | 面积 = $\left\|\int_a^b f(x) dx\right\|$ | 定积分为负，翻转符号得到面积 |
| 在$c \in (a,b)$处穿过x轴一次 | 面积 = $\left\|\int_a^c f(x) dx\right\| + \left\|\int_c^b f(x) dx\right\|$ | 在截点拆分，绝对值相加 |
| 微积分基本定理规则 | $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), F'(x)=f(x)$ | 积分常数会抵消 |

## 下一步

现在你已经理解了定积分和单曲线下的面积，你可以将这个知识扩展到IB AI SL考试中常见的更高级的积分问题。下一步是学习如何计算两条不同曲线之间的面积，它使用拆分积分和绝对值的相同核心思想，只是被积函数不同。你也可以在这个基础上学习积分在运动学中的应用，其中定积分被用来从速度函数计算位移和总路程。本主题也是学习换元积分法的基础，换元积分法是用来积分第一卷中频繁出现的更复杂函数的方法。

- [微积分的运动学应用](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-kinematic-applications-of-calculus/)

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