斯皮尔曼等级相关系数

IB 数学应用与解读 SL· 30 分钟阅读

1. 斯皮尔曼等级相关的核心定义与用途★★☆☆☆⏱ 8 min

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📘 定义

斯皮尔曼等级相关系数

$r_{s}$

取值在-1到+1之间的统计值，用于量化两个已排序双变量变量之间单调关联的强度和方向

例:

$r_{s}$ 值为0.92表示强正趋势，即一个变量的较高值几乎总是对应另一个变量的较高值

📐 例题

判断以下哪个数据集更适合使用斯皮尔曼等级相关：A) 20名青少年的身高和体重，B) 15件商品的客户满意度评分（1-5分）与产品价格

1
评估数据集A：身高和体重通常具有近似线性关系，因此皮尔逊r是合适的选择
2
评估数据集B：满意度评分为有序数据，且其与价格的关系不一定是线性的，因此斯皮尔曼等级相关是正确选择

2. 无同分等级的分步计算方法★★★☆☆⏱ 12 min

✓ 计算器

r_s = 1 - \frac{6\sum d_i^2}{n(n^2 - 1)}

将所有x值从1（最小值）到n（最大值）排序赋值等级
将所有对应的y值从1到n排序赋值等级
计算每对配对观测的x等级与y等级之差 $d_{i}$
将每个 $d_{i}$ 值平方得到 $d_{i}^{2}$
对所有 $d_{i}^{2}$ 值求和得到 $\sum d_{i}^{2}$
将求和结果代入标准斯皮尔曼等级相关公式，得到 $r_{s}$

📐 例题

计算以下4组配对数据的 $r_{s}$ ：(2,5), (4,7), (6,10), (8,9)

1
为x值赋值等级：2=1, 4=2, 6=3, 8=4
2
为y值赋值等级：5=1,7=2,9=3,10=4
3
计算 $d_{i}$ 值：1-1=0, 2-2=0, 3-4=-1, 4-3=1
4
计算 $d_{i}^{2}$ 值：0, 0, 1, 1。求和结果为2
5
代入公式： $r_{s} = 1 - \frac{6 \times 2}{4 ( 16 - 1 )} = 1 - \frac{12}{60} = 0.8$

✓ 快速检测

当n=5时， $\sum d_{i}^{2}$ 的最大可能值是多少？
显示答案
40 —
最大值出现在等级完全反转的情况下，平方和为16+9+4+1+0？不对，n=5反转等级时， $d_{i}$ 值为4,2,0,-2,-4，平方和为16+4+0+4+16=40，结果正确。

3. 数据集中同分等级的调整方法★★★★☆⏱ 10 min

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📐 例题

为以下x值赋值等级：[12, 15, 15, 18]

1
最小值12位于第1位，因此等级为1
2
两个15值位于第2和第3位，两者的平均等级为(2+3)/2=2.5
3
最大值18位于第4位，因此等级为4

4. 结果解读与和皮尔逊r的对比★★★☆☆⏱ 7 min

方法对比

斯皮尔曼等级相关$r_s$

使用排序后的数据，适用于非线性趋势，适合有序数据和偏态数据

+ 优点: 对异常值稳健，无正态分布假设

− 缺点: 无法度量线性关系的强度

皮尔逊$r$

使用原始连续数据，仅度量线性关联

+ 优点: 对于线性数据集精度更高

− 缺点: 对异常值敏感，要求数据服从正态分布

5. 常见陷阱

错误做法:

对非线性单调数据使用皮尔逊r公式而非斯皮尔曼等级相关

原因:

对于非线性趋势，皮尔逊r会低估关联的真实强度

正确做法:

当你仅预期存在一致的上升/下降趋势而非直线关系时，使用斯皮尔曼等级相关

错误做法:

为同分数据点分配不同的等级

原因:

会生成异常大的 $d_{i}$ 值，导致最终 $r_{s}$ 结果错误

正确做法:

为所有同分条目分配它们所占据的全部等级位置的平均值

错误做法:

过早将中间 $d_{i}^{2}$ 值四舍五入到1位小数

原因:

累积的舍入误差会使你的最终 $r_{s}$ 超出评分允许的范围

正确做法:

在计算出最终 $r_{s}$ 之前，所有中间值都不要进行舍入

错误做法:

声称 $r_{s} = 1$ 证明存在完美线性关系

原因:

斯皮尔曼的 $r_{s}$ 仅度量完美单调关联，不要求线性

正确做法:

说明 $r_{s} = 1$ 表示一个变量随另一个变量增大而严格增大，与趋势的形状无关

错误做法:

对少于5组配对观测的数据应用斯皮尔曼等级相关

原因:

相关系数会对随机波动极其敏感，不具备统计意义

正确做法:

在进行计算前确认你至少有6组配对数据点

6. 速查表

步骤	无同分等级操作	有同分等级操作	解读规则
1	将x值从1排序到n赋值等级	为同分x值分配平均等级	$r_{s} = 1$ = 完美正单调关联
2	将y值从1排序到n赋值等级	为同分y值分配平均等级	$r_{s} = 0$ = 无单调关联
3	计算 $d_{i} = r ank (x_{i}) - r ank (y_{i})$	使用调整后的等级计算 $d_{i}$	$r_{s} = - 1$ = 完美负单调关联
4	对所有 $d_{i}^{2}$ 值求和	对调整后的 $d_{i}^{2}$ 值求和	0.7 < $∣ r_{s} ∣$ ≤ 1 表示强相关

7. 常见问题

我可以直接用图形显示计算器(GDC)计算斯皮尔曼等级相关系数吗？

大多数现代GDC可以自动计算 $r_{s}$ ，但在Paper 2作答时，你必须完整展示等级赋值和差值计算的全部步骤，即使你的最终结果与正确答案完全一致，也需要写出步骤才能获得步骤分数。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · Paper 2
出行时间数据的等级相关性
2022 · Paper 1
解读给定的斯皮尔曼 $r_{s}$ 值
2021 · Paper 2
计算学生成绩数据的 $r_{s}$

深入阅读

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下一步

现在你已经掌握了斯皮尔曼等级相关系数，可以将这项非参数技能应用于各类考试场景，从有序调查数据到偏态环境测量数据。该考点在Paper 1和Paper 2中都经常出现，请确保你练习完整的计算流程，不要跳过步骤以免丢失步骤分数。接下来你将在相关性的基础上学习线性回归，它可以为已确认存在线性关联的双变量数据集构建预测模型。你还将探索假设检验，以验证观测到的相关值是否具有统计显著性，而非由随机因素导致。