# 统计与概率

> IB 数学 AI SL · IB AI SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-overview/
> 占比: 占考试总分的24-26%

本单元涵盖核心数据分析与概率概念，是IB 数学 AI SL大纲中占比最高的部分，两份试卷都非常侧重现实世界的应用问题。

**先修:** 基础算术与代数运算技能

## 学习目标

- 对数据类型进行分类，并选择合适的方法表示和总结现实世界数据集
- 对未分组和分组数据计算并解释中心趋势和离散程度的核心度量
- 应用概率法则解决涉及复合事件、条件概率和独立性的问题
- 使用二项分布和正态分布对现实场景建模，并计算相关概率和数值

## 单元概览

本单元遵循清晰的逻辑学习路径：我们从基础数据分类开始，接着学习数据的可视化与总结，探索变量之间的关系，构建核心概率法则，最后讲解AI SL考试中最常考的两种概率分布。

本单元几乎所有题目都基于实际情境，很多题目需要解读图形计算器（GDC）的输出结果，因此在整个学习过程中，熟练掌握使用技术工具进行统计计算是核心要点。

本单元分为10个重点子主题，供你逐步学习：
- [离散与连续数据类型](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u4-discrete-and-continuous-data-types/) — 学习数据类型的核心分类，这是所有后续统计分析的基础。
- [抽样方法与偏差](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u4-sampling-and-bias/) — 区分总体 (population) 与样本 (sample)，运用主要的抽样方法，并识别偏差 (bias) 的来源。
- [数据表示：直方图、箱线图、累积频率](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u4-data-representation-histograms-box-plots/) — 创建并解读离散和连续数据集的常用数据可视化结果。
- [中心趋势度量](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u4-measures-of-central-tendency/) — 对未分组和分组数据计算并比较均值、中位数和众数。
- [离散程度度量：方差、标准差](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u4-measures-of-spread-variance-standard/) — 使用极差、四分位距、方差和标准差量化数据的离散程度。
- [相关性与线性回归](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u4-correlation-and-linear-regression/) — 测量两个变量之间的线性相关性，拟合回归直线进行预测。
- [基础概率概念与复合事件](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u4-basic-probability-concepts-and-combined/) — 学习核心概率法则，使用韦恩图解决复合事件问题。
- [条件概率与独立性](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u4-conditional-probability-and-independence/) — 计算条件概率，检验两个事件的独立性。
- [离散概率分布](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u4-discrete-probability-distributions/) — 理解离散分布的性质，计算期望值。
- [二项分布](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u4-binomial-distribution/) — 识别二项分布的适用条件，计算概率、期望和方差。
- [正态分布及其应用](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u4-normal-distribution-and-applications/) — 在实际问题中应用正态分布计算概率和逆值。

## 常见错误

- **错误做法:** 选择图表或计算方法时混淆离散数据和连续数据
  - 原因: 错误分类会导致解题方法错误，考试中通常会因此扣分
  - 正确做法: 解题时始终先检查数据：是只能取特定值（离散），还是可以取区间内任意值（连续）
- **错误做法:** GDC计算中误用样本标准差而非总体标准差
  - 原因: 除非另有明确说明，AI SL题目几乎总是要求使用总体标准差
  - 正确做法: 提交答案前，先确认题目要求的是哪种标准差
- **错误做法:** 未检查所需条件就直接应用二项分布
  - 原因: 未验证模型适用与否会丢失方法分
  - 正确做法: 使用二项分布前，始终检查是否满足固定试验次数、两种结果、独立试验和概率恒定这几个条件

## 速查表

| 概念 / 公式 | 说明 |
| --- | --- |
| （未分组数据）均值 | $\bar{x} = \frac{\sum x}{n}$ |
| （分组数据）均值 | $\bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f}$ |
| 皮尔逊 $r$ | 测量线性相关的强度，取值在 $-1$ 到 $1$ 之间 |
| 复合事件概率 | $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ |
| 条件概率 | $P(A\|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ |
| 二项分布期望 | $E(X) = np$ |
| 二项分布方差 | $Var(X) = np(1-p)$ |
| 正态分布记号 | $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ where $\mu$ = 均值, $\sigma^2$ = 方差 |

## 下一步

从第一个子主题开始学习本单元，它介绍了核心数据分类，所有后续统计工作都以此为基础。完成本单元全部10个子主题后，你将进入下一个单元，学习应用微积分的核心概念。

- [离散与连续数据类型](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-discrete-and-continuous-data-types/)
- [第五单元：微积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-overview/)
- [数据表示：直方图、箱线图、累积频率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-data-representation-histograms-box-plots/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-overview/