# 正态分布及其应用

> IB 数学应用与解释 SL · 统计与概率
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-normal-distribution-and-applications/

本子主题讲解正态分布的性质，这是一种被广泛用于对实际现象建模的对称连续概率分布。你将学习如何计算概率，并使用逆正态技术解决实际问题。

**先修:** [连续概率分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-continuous-probability/); [Z分数与标准化](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-z-scores/)

## 学习目标

- 识别正态分布曲线的关键性质
- 使用图形显示计算器（GDC）计算正态分布变量的累积概率
- 在实际问题中使用逆正态法求百分位数
- 应用正态分布解决实际概率问题

## 正态分布的性质

**正态分布** — 以总体均值$\mu$为中心，由方差$\sigma^2$决定离散程度的对称钟型连续概率分布。曲线下总面积等于1。

*记法:* X \sim N(\mu, \sigma^2)

*例:* 成年人身高、IQ分数、制造业测量误差

正态分布围绕中心对称，因此对于理想正态分布，**均值 = 中位数 = 众数**。经验法则（又称68-95-99.7法则）描述了均值不同标准差范围内的数据占比。

> **经验法则记忆法**
>
> 记住：68%在1σ范围内，95%在2σ范围内，99.7%在3σ范围内。只要重复68-95-99.7就能轻松记住这些数值。

**例题:** 变量$X$服从正态分布$X \sim N(50, 10^2)$。请问40到60之间的数据占比是多少？

1. 识别分布的参数：
2. $$\mu = 50, \quad \sigma = 10$$
3. 将区间边界用均值和标准差改写：
4. $$40 = 50 - 10 = \mu - \sigma, \quad 60 = 50 + 10 = \mu + \sigma$$
5. 根据经验法则，68%的所有数据落在均值1个标准差范围内。
6. 最终答案：$68\%$

## 计算正态概率

对于IB AI SL，你始终需要使用图形显示计算器（GDC）来查找正态概率，无需手动计算或使用Z表。我们所求的是任意两个边界之间的曲线下面积，对应变量落在该区间的概率。

**累积正态概率** — 正态分布变量$X$小于等于给定值$x$的概率，记为$P(X \leq x)$。

对于任意区间，我们使用以下规则：
- $P(X > a) = 1 - P(X \leq a)$（上尾的补集法则）
- $P(a < X < b) = P(X < b) - P(X < a)$，适用于两个值之间的区间

**例题:** Given $X \sim N(25, 3^2)$, find $P(X < 28)$.

1. 提取参数：均值$\mu = 25$，标准差$\sigma = 3$（注意GDC需要输入的是标准差，不是方差）
2. 我们需要从下界（GDC中通常设为-1E99代表负无穷）到28的累积概率。
3. 将数值输入GDC的正态累积分布函数。
4. 最终结果：
5. $$P(X < 28) \approx 0.841$$

*计算器:* allowed

## 逆正态计算

逆正态是概率计算的逆过程：我们已知累积概率（百分位数），需要找到对应的$X$取值。这是非常常见的考题，尤其在实际应用场景中。

**逆正态** — 已知累积概率$p = P(X \leq x)$，逆正态计算返回分布中$p$百分位对应的$x$值。

> **tip**
>
> 一定要快速画出正态曲线的草图，确认你需要的是哪一侧尾部，这可以避免累积概率计算错误。

**例题:** 苹果的质量服从正态分布，均值为150g，标准差为10g。求最重的10%苹果的最小质量。

1. 定义分布：设$M$ = 一个苹果的质量，因此$M \sim N(150, 10^2)$
2. 我们需要找到满足$P(M > m) = 0.10$的质量$m$。将其转换为左侧累积概率：
3. $$P(M \leq m) = 1 - 0.10 = 0.90$$
4. 在GDC上使用逆正态函数，输入$p=0.90$，$\mu=150$，$\sigma=10$
5. 结果：$m \approx 162.8$g。四舍五入到合理精度，最小质量为163g。

*计算器:* allowed

## 实际应用

正态分布是统计学中应用最广泛的概率分布之一。它可以对许多自然产生的连续变量、测量误差、测试分数以及制造业生产过程中的变异建模。考试中，题目会明确告知变量是否可以用正态分布建模。

**例题:** IQ测试分数服从正态分布，均值为100，标准差为15。随机选取一人，其IQ在90到110之间的概率是多少？

1. 定义分布：$X \sim N(100, 15^2)$
2. 我们需要计算$P(90 < X < 110) = P(X < 110) - P(X < 90)$
3. 用GDC计算每个累积概率：$P(X < 110) \approx 0.7475$，$P(X < 90) \approx 0.2525$
4. 相减得到区间概率：
5. $$P(90 < X < 110) = 0.7475 - 0.2525 = 0.495$$

## 常见错误

- **错误做法:** 在GDC中输入方差而非标准差。
  - 原因: 正态分布记号$N(\mu, \sigma^2)$的第二个参数是方差，但大多数GDC要求输入标准差。
  - 正确做法: 输入计算器前，一定要对方差开平方得到标准差。
- **错误做法:** 在上尾逆正态问题中，直接将给定百分比作为累积概率。
  - 原因: 如果题目要求前10%的数值，左侧累积面积是90%，不是10%。
  - 正确做法: 一定要画出曲线草图，用1减去上尾百分比，得到逆正态计算正确的累积概率。
- **错误做法:** 假设任意连续变量都服从正态分布。
  - 原因: 只有对称钟型变量才服从正态分布。偏态变量无法用正态分布建模。
  - 正确做法: 除非题目明确说明该变量服从正态分布，否则不要使用正态分布方法。
- **错误做法:** 计算概率时混淆$P(X < a)$和$P(X > a)$。
  - 原因: 很容易忘记上尾的补集法则。
  - 正确做法: 在草图上标出要求的面积，然后对上尾概率使用$P(X > a) = 1 - P(X \leq a)$。

## 速查表

| 概念 | 记号/法则 | 应用场景 |
| --- | --- | --- |
| 正态分布 | $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ | 对对称钟型连续数据建模 |
| 经验法则 | 68% within $\mu \pm 1\sigma$, 95% within $\mu \pm 2\sigma$, 99.7% within $\mu \pm 3\sigma$ | 快速估计概率 |
| 累积概率 | $P(a < X < b) = P(X < b) - P(X < a)$ | 已知$X$的取值，求概率 |
| 逆正态 | Given $P(X \leq x) = p$, find $x$ | 已知概率/百分位数，求取值 |
| 上尾概率 | $P(X > a) = 1 - P(X \leq a)$ | 计算给定值上方的面积 |

## 下一步

正态分布是推断统计的基础，推断统计是IB AI SL统计单元中剩余最大的主题。你在这里学到的计算概率和使用逆正态的技能，会在构建置信区间和对总体均值进行假设检验时直接用到。这些主题在试卷1和试卷2中都占很大分值，所以现在掌握正态分布会让这些更高级的主题更容易理解。你也可以将这里学到的内容和你在本单元已经学习的另一种关键概率分布——二项分布联系起来。

- [二项分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-binomial-distribution/)
- [微积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-overview/)
- [导数作为切线斜率与变化率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-derivative-as-gradient-of-tangent/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-normal-distribution-and-applications/