离散程度度量：方差、标准差

IB 数学：应用与解释 SL· 45 分钟阅读

1. 核心定义与基础手动计算★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

方差

Population variance: $σ^{2}$ , Sample variance: $s^{2}$

所有数据与均值偏差平方的平均值，用于量化数据偏离中心均值的分散程度。

例:

对于数据集 $[1, 2, 3]$ ，均值为 $2$ ，总体方差是 $\frac{( 1 - 2 ) ^{2} + ( 2 - 2 ) ^{2} + ( 3 - 2 ) ^{2}}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.67$

📘 定义

标准差

Population: $σ$ , Sample: $s$

方差的平方根，单位与原始数据一致，因此比方差更容易解释。

📐 例题

一个包含5名学生的小总体，满分10分的测试成绩为： $[6, 7, 7, 8, 10]$ 。计算总体方差和标准差。

1
首先计算总体均值 $μ$ ：
2
$\mu = \frac{6 + 7 + 7 + 8 + 10}{5} = 7.6$
3
计算每个数据与均值的偏差平方：
4
$(6-7.6)^2 = 2.56,\ (7-7.6)^2 = 0.36,\ (7-7.6)^2 = 0.36,\ (8-7.6)^2 = 0.16,\ (10-7.6)^2 = 5.76$
5
将偏差平方求和后除以总体大小 $n = 5$ ：
6
$\sigma^2 = \frac{2.56 + 0.36 + 0.36 + 0.16 + 5.76}{5} = \frac{9.2}{5} = 1.84$
7
开平方得到总体标准差：
8
$\sigma = \sqrt{1.84} \approx 1.36$

2. 总体方差 vs 样本方差★★★☆☆⏱ 15 min

当你从更大的总体中抽取样本时，你需要得到真实总体方差的无偏估计。为了修正抽样带来的偏差，我们将偏差平方和除以 $n - 1$ 而不是 $n$ ，其中 $n$ 是样本大小。

📘 定义

样本方差

$s^{2}$

从样本计算得到的总体方差无偏估计量，通过分母使用 $n - 1$ 而非 $n$ 来修正抽样偏差。

📐 例题

将上述5个测试成绩 $[6, 7, 7, 8, 10]$ 视为从更大总体中抽取的样本，计算样本方差和标准差。

1
均值仍为 $7.6$ ，偏差平方和仍为 $9.2$ ，和总体例子中的结果相同。
2
计算样本方差时，将偏差平方和除以 $n - 1 = 5 - 1 = 4$ ：
3
$s^2 = \frac{9.2}{4} = 2.3$
4
开平方得到样本标准差：
5
$s = \sqrt{2.3} \approx 1.52$
6
样本方差大于总体方差，这是为了考虑抽样的不确定性。

3. GDC计算与含义解释★★★☆☆⏱ 20 min

✓ 计算器

在IB考试中，对于大小超过5个数据的数据集，你几乎总是会使用GDC来计算方差和标准差。标准差越小说明数据越聚集在均值附近；标准差越大说明数据越分散。

📐 例题

A城7天的日最高气温（°C）为： $[12, 14, 15, 15, 16, 18, 21]$ 。使用GDC计算总体标准差并解释结果。

1
将数据输入GDC的列表，然后运行单变量统计功能。
2
你的GDC会输出两个值：总体标准差 $σ \approx 2.67$ °C，样本标准差 $s \approx 2.88$ °C。
3
因为我们拥有全部7天的数据（完整总体），所以我们使用 $σ$ 。
4
解释：平均气温为15.86 °C，大多数日气温在均值上下约2.7 °C范围内，因此本周气温波动不大。

✓ 快速检测

检查你是否能正确选择GDC的输出结果：

题目要求计算你所在班级全部30名学生测试成绩的标准差，你的GDC输出 $σ = 5.2$ 和 $s = 5.4$ ，你应该使用哪个值？
- 5.2
- 5.4
- 任意一个都可以
你从一片森林中抽取了15棵树的样本，需要估计总体方差，你应该使用哪个值？
- $σ^{2}$
- $s^{2}$
- 任意一个
显示答案
1 —
正确！ $s^{2}$ 是从样本得到的总体方差无偏估计。

4. 常见陷阱

错误做法:

计算样本方差时除以 $n$ 而非 $n - 1$

原因:

这会得到有偏的、比正确值更小的总体方差估计值，会丢失本应得到的分数。

正确做法:

始终确认数据是完整总体还是样本：总体除以 $n$ ，样本除以 $n - 1$ 。

错误做法:

忘记对方差开平方得到标准差

原因:

学生经常在题目要求标准差时直接输出GDC给出的方差值，导致丢分。

正确做法:

再次确认题目要求：求方差则给出 $σ^{2} / s^{2}$ ，求标准差则给出 $σ / s$ 。

错误做法:

从GDC中选择了错误的输出值

原因:

GDC总会同时输出总体和样本标准差，因此很容易不小心选错。

正确做法:

写下答案前，仔细阅读题目确认你需要的是总体统计量还是样本统计量。

错误做法:

在情境题中解释方差而非标准差

原因:

方差的单位是原始单位的平方，在实际情境解释中没有意义。

正确做法:

解释数据离散程度时，始终使用与原始数据单位一致的标准差。

5. 速查表

度量	符号	公式	适用场景
总体方差	$σ^{2}$	$\frac{\sum ( x _{i} - μ ) ^{2}}{n}$	完整数据集 / 整个总体
总体标准差	$σ$	$σ^{2}$	解释完整总体的离散程度
样本方差	$s^{2}$	$\frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$	从样本估计总体方差
样本标准差	$s$	$s^{2}$	解释样本的离散程度

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · Paper 1
2分题：计算标准差
2024 · Paper 2
比较两个数据集的离散程度
2023 · Paper 1
解释标准差的含义

下一步

现在你已经掌握了方差和标准差，可以将这些知识用于IB AI SL课程中更高级的统计主题。标准差是正态分布、假设检验和置信区间的基础概念，这些内容在IB考试中占比很高。你现在也可以通过结合集中趋势度量和离散程度度量来比较数据集，在情境题中得出基于证据的结论，这类题目会出现在每套Paper 1和Paper 2中。