# 离散程度度量：方差、标准差

> IB 数学：应用与解释 SL · 统计与概率
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-measures-of-spread-variance-standard/

本小节介绍如何使用方差和标准差量化数据围绕均值的离散程度，这是数值数据最常用的离散程度度量。你将学习手动计算方法、GDC使用方法，以及如何在考题中进行解释。

**先修:** [集中趋势度量：均值、中位数、众数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-measures-of-central-tendency/)

## 学习目标

- 区分总体与样本的方差和标准差
- 掌握手动计算和使用GDC计算方差与标准差
- 解释标准差对数据离散程度的意义
- 使用方差/标准差比较不同数据集

## 核心定义与基础手动计算

**方差** — 所有数据与均值偏差平方的平均值，用于量化数据偏离中心均值的分散程度。

*记法:* Population variance: $\sigma^2$, Sample variance: $s^2$

*例:* 对于数据集$[1,2,3]$，均值为$2$，总体方差是$\frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.67$

**标准差** — 方差的平方根，单位与原始数据一致，因此比方差更容易解释。

*记法:* Population: $\sigma$, Sample: $s$

**例题:** 一个包含5名学生的小总体，满分10分的测试成绩为：$[6, 7, 7, 8, 10]$。计算总体方差和标准差。

1. 首先计算总体均值$\mu$：
2. $$\mu = \frac{6 + 7 + 7 + 8 + 10}{5} = 7.6$$
3. 计算每个数据与均值的偏差平方：
4. $$(6-7.6)^2 = 2.56,\ (7-7.6)^2 = 0.36,\ (7-7.6)^2 = 0.36,\ (8-7.6)^2 = 0.16,\ (10-7.6)^2 = 5.76$$
5. 将偏差平方求和后除以总体大小$n=5$：
6. $$\sigma^2 = \frac{2.56 + 0.36 + 0.36 + 0.16 + 5.76}{5} = \frac{9.2}{5} = 1.84$$
7. 开平方得到总体标准差：
8. $$\sigma = \sqrt{1.84} \approx 1.36$$

## 总体方差 vs 样本方差

当你从更大的总体中抽取样本时，你需要得到真实总体方差的无偏估计。为了修正抽样带来的偏差，我们将偏差平方和除以$n-1$而不是$n$，其中$n$是样本大小。

**样本方差** — 从样本计算得到的总体方差无偏估计量，通过分母使用$n-1$而非$n$来修正抽样偏差。

*记法:* $s^2$

**例题:** 将上述5个测试成绩$[6, 7, 7, 8, 10]$视为从更大总体中抽取的样本，计算样本方差和标准差。

1. 均值仍为$7.6$，偏差平方和仍为$9.2$，和总体例子中的结果相同。
2. 计算样本方差时，将偏差平方和除以$n-1 = 5-1 = 4$：
3. $$s^2 = \frac{9.2}{4} = 2.3$$
4. 开平方得到样本标准差：
5. $$s = \sqrt{2.3} \approx 1.52$$
6. 样本方差大于总体方差，这是为了考虑抽样的不确定性。

> **tip**
>
> 如果题目没有说明是总体还是样本，若题目给出的是完整数据集则使用总体标准差，若明确说明是样本则使用样本标准差。

## GDC计算与含义解释

在IB考试中，对于大小超过5个数据的数据集，你几乎总是会使用GDC来计算方差和标准差。标准差越小说明数据越聚集在均值附近；标准差越大说明数据越分散。

**例题:** A城7天的日最高气温（°C）为：$[12, 14, 15, 15, 16, 18, 21]$。使用GDC计算总体标准差并解释结果。

1. 将数据输入GDC的列表，然后运行单变量统计功能。
2. 你的GDC会输出两个值：总体标准差$\sigma \approx 2.67$ °C，样本标准差$s \approx 2.88$ °C。
3. 因为我们拥有全部7天的数据（完整总体），所以我们使用$\sigma$。
4. 解释：平均气温为15.86 °C，大多数日气温在均值上下约2.7 °C范围内，因此本周气温波动不大。

**概念自测**

检查你是否能正确选择GDC的输出结果：

1. 题目要求计算你所在班级全部30名学生测试成绩的标准差，你的GDC输出$\sigma = 5.2$和$s = 5.4$，你应该使用哪个值？

   - 5.2
   - 5.4
   - 任意一个都可以

   *答案:* 5.2

   *解析:* 正确！整个班级就是完整总体，因此我们使用$\sigma = 5.2$。

2. 你从一片森林中抽取了15棵树的样本，需要估计总体方差，你应该使用哪个值？

   - $\sigma^2$
   - $s^2$
   - 任意一个

   *答案:* $s^2$

   *解析:* 正确！$s^2$是从样本得到的总体方差无偏估计。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 计算样本方差时除以$n$而非$n-1$
  - 原因: 这会得到有偏的、比正确值更小的总体方差估计值，会丢失本应得到的分数。
  - 正确做法: 始终确认数据是完整总体还是样本：总体除以$n$，样本除以$n-1$。
- **错误做法:** 忘记对方差开平方得到标准差
  - 原因: 学生经常在题目要求标准差时直接输出GDC给出的方差值，导致丢分。
  - 正确做法: 再次确认题目要求：求方差则给出$\sigma^2/s^2$，求标准差则给出$\sigma/s$。
- **错误做法:** 从GDC中选择了错误的输出值
  - 原因: GDC总会同时输出总体和样本标准差，因此很容易不小心选错。
  - 正确做法: 写下答案前，仔细阅读题目确认你需要的是总体统计量还是样本统计量。
- **错误做法:** 在情境题中解释方差而非标准差
  - 原因: 方差的单位是原始单位的平方，在实际情境解释中没有意义。
  - 正确做法: 解释数据离散程度时，始终使用与原始数据单位一致的标准差。

## 速查表

| 度量 | 符号 | 公式 | 适用场景 |
| --- | --- | --- | --- |
| 总体方差 | $\sigma^2$ | $\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}$ | 完整数据集 / 整个总体 |
| 总体标准差 | $\sigma$ | $\sqrt{\sigma^2}$ | 解释完整总体的离散程度 |
| 样本方差 | $s^2$ | $\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$ | 从样本估计总体方差 |
| 样本标准差 | $s$ | $\sqrt{s^2}$ | 解释样本的离散程度 |

## 下一步

现在你已经掌握了方差和标准差，可以将这些知识用于IB AI SL课程中更高级的统计主题。标准差是正态分布、假设检验和置信区间的基础概念，这些内容在IB考试中占比很高。你现在也可以通过结合集中趋势度量和离散程度度量来比较数据集，在情境题中得出基于证据的结论，这类题目会出现在每套Paper 1和Paper 2中。

- [相关性与线性回归](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-correlation-and-linear-regression/)
- [基础概率概念与复合事件](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-basic-probability-concepts-and-combined/)
- [条件概率与独立性](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-conditional-probability-and-independence/)

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