假设检验：卡方检验与t检验

IB 数学应用与解读 SL· 第4单元：统计与概率，第12节· 25 分钟阅读

1. 假设检验核心框架★★☆☆☆⏱ 5 min

这3种检验都遵循IB考试要求拿满分的统一5步标准流程：1) 陈述H₀和H₁，2) 定义显著性水平α，3) 通过图形计算器计算检验统计量和p值，4) 比较p值和α，5) 写出结合题目的结论。

📘 定义

显著性水平

\alpha

预先设定的拒绝原假设的阈值，IB AI SL题目中最常用的取值为5%（0.05）

📐 例题

咖啡店店主声称日均销售额为1200美元。员工怀疑真实平均值更低，请为该t检验写出原假设和备择假设。

1
首先定义总体参数：μ = 该咖啡店的真实日均销售额
2
写出代表无效应、符合店主声明的H₀：
$H_0: \mu = 1200$
3
写出代表员工方向性怀疑的H₁：
$H_1: \mu < 1200$

✓ 快速检测

IB AI SL假设检验中最常用的标准显著性水平最大值是多少？
- 0.01
- 0.05
- 0.10
- 0.20
显示答案
0.05 —
5%（0.05）是几乎所有IB AI SL评估题目中指定的默认阈值

2. 卡方拟合优度检验★★★☆☆⏱ 7 min

该检验用于判断观测频数分布是否符合指定的理论模型（例如均匀分布、二项分布、正态分布）。期望频数的计算方式为总样本量乘以对应类别的理论概率。

📐 例题

将一枚6面骰子投掷60次，观测频数为[7,12,11,9,10,11]，在α=0.05的显著性水平下检验该骰子是否公平。

1
陈述假设：H₀ = 骰子公平（每个结果的概率为1/6），H₁ = 骰子不公平
2
计算期望频数：60 * 1/6 = 10，所有6个结果的期望频数均为10
3
计算自由度：6个类别 - 1 = 5
4
在图形计算器上运行检验，得到χ² = 2.0，p值 = 0.849
5
结论：0.849 > 0.05，因此没有足够证据拒绝H₀，可以认为该骰子是公平的

Exam tip:

IB阅卷官会为正确陈述自由度单独给1分，因此在运行图形计算器计算前一定要明确写出该数值

3. 卡方独立性检验★★★☆☆⏱ 7 min

该检验用于判断两个分类变量是否存在关联，使用观测频数的列联表进行计算。每个单元格的期望频数 = (行总和 * 列总和) / 总总和。

📐 例题

一项调查用于检验零食偏好是否与年龄组独立，使用3行（年龄组）×4列（零食类型）的列联表，计算该检验的自由度。

1
确定行数r = 3，列数c = 4
2
应用独立性检验的自由度公式：
$df = (r-1)(c-1) = (3-1)(4-1) = 2 * 3 = 6$

4. 针对总体均值的单样本t检验★★★★☆⏱ 6 min

该检验将样本均值与假设的总体均值进行比较，适用于总体标准差未知、数据近似服从正态分布的场景。自由度 = 样本量n - 1。

📐 例题

15名学生的样本测试平均分为72，sₙ₋₁ = 8，在α=0.05的显著性水平下检验总体均值是否不等于75。

1
陈述假设：H₀: μ =75，H₁: μ ≠75（双尾检验）
2
计算t统计量：
$t = \frac{72 -75}{8 / \sqrt{15}} \approx -1.452$
3
df = 15 - 1 =14，图形计算器返回p值 = 0.168
4
结论：0.168 > 0.05，没有足够证据拒绝H₀

5. 常见陷阱

错误做法:

当p > α时陈述'原假设被证明为真'

原因:

你永远无法确认原假设成立，只能得出没有足够证据拒绝它的结论

正确做法:

写出'在α显著性水平下没有足够证据拒绝原假设'

错误做法:

在t检验输入中使用总体标准差而不是sₙ₋₁

原因:

这会生成错误的z统计量而非要求的t统计量，丢失方法步骤分

正确做法:

始终从图形计算器菜单中选择无偏样本标准差sₙ₋₁

错误做法:

合并期望频数<5的类别后忘记调整自由度

原因:

未调整的自由度会返回不符合IB评分标准的无效p值

正确做法:

合并类别后使用新的类别总数重新计算自由度

错误做法:

当题目未指定方向时对t检验使用单尾检验

原因:

IB AI SL对于未明确说明备择假设方向的情况默认使用双尾检验

正确做法:

在图形计算器上运行检验前，先从题目提示确认检验的尾数量

错误做法:

混淆拟合优度检验和独立性检验的自由度公式

原因:

这是卡方类题目中最常见的失分错误

正确做法:

在计算自由度数值前，先在答题纸上明确写出对应的自由度公式

6. 速查表

检验类型	主要适用场景	自由度公式	图形计算器核心输入
卡方拟合优度检验	匹配观测分布与理论模型	$k - 1 - m$	观测频数、理论概率
卡方独立性检验	检验两个分类变量的关联性	$(r - 1) (c - 1)$	完整的观测值列联表
单样本t检验	比较样本均值与假设总体均值	$n - 1$	样本数据、假设总体均值

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · Paper 2
针对调查数据的卡方独立性检验
2023 · Paper 2
针对考试分数总体均值的单样本t检验
2022 · Paper 2
针对均匀分布的卡方拟合优度检验

下一步

这三种假设检验占IB数学AI SL评估总分值的15%左右，几乎在近年每一份Paper 2中都有出现。接下来你将练习场景识别，为混合题干选择正确的检验类型，这是难倒40%考生的考点。你还将优化图形计算器操作流程，避免常见的输入错误，练习撰写完全符合IB考官标准、拿满分数的结论。这部分基础也将支撑你本单元后续学习皮尔逊相关系数的假设检验内容。