离散概率分布

IB 数学：应用与解释 SL· 30 分钟阅读

1. 离散随机变量与有效概率分布★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

离散概率分布

P(X=x)

为离散随机变量的每个可能结果分配概率的函数，满足两个核心条件：所有概率都在0到1之间，且所有概率之和等于1。

例:

一周内的雨天数量，一批产品中的次品数量

IB考试非常常见的题型是让你求给定分布中的未知概率。你始终可以利用所有概率之和等于1的核心规则求解未知值，然后确认它满足0 ≤ p ≤ 1的条件。

📐 例题

离散随机变量 $X$ 的概率分布为： $P (X = 0) = 0.12$ ， $P (X = 1) = k$ ， $P (X = 2) = 0.45$ ， $P (X = 3) = 0.28$ 。求 $k$ 的值并验证该分布有效。

1
利用所有概率之和等于1的规则：
2
$0.12 + k + 0.45 + 0.28 = 1$
3
化简并求解 $k$ ：
4
$0.85 + k = 1 \implies k = 1 - 0.85 = 0.15$
5
验证有效性： $0 \leq 0.15 \leq 1$ ，因此 $k = 0.15$ 对应一个有效的离散概率分布。

2. 离散分布的期望（均值）★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

期望

E[X] \text{ or } \mu

随机变量多次重复试验的长期平均结果，计算方式为所有可能结果按概率加权的加权平均值。

例:

日期望销量，游戏的期望利润

期望的公式为：对所有可能的 $x$ 值， $E [X] = \sum x \cdot P (X = x)$ 。注意，期望不一定是分布的可能结果之一，它只是一个平均值。

📐 例题

一家小商店售卖冰淇淋，日销量的概率分布如下。计算每日售出冰淇淋的期望数量：

$x$ （售出冰淇淋数量）	10	15	20	25	30
$P (X = x)$	0.1	0.2	0.35	0.25	0.1

1
应用期望公式：
2
$E[X] = (10 \times 0.1) + (15 \times 0.2) + (20 \times 0.35) + (25 \times 0.25) + (30 \times 0.1)$
3
计算每个乘积并求和：
4
$E[X] = 1 + 3 + 7 + 6.25 + 3 = 20.25$

3. 方差与标准差★★★☆☆⏱ 20 min

📘 定义

方差

\text{Var}(X) \text{ or } \sigma^2

度量结果围绕期望分散程度的指标。方差越大说明结果的变异性越高，方差越小说明结果越聚集在均值附近。

例:

方差为0说明结果是固定的，没有变异性

IB AI SL中最常用的方差公式是 $Var (X) = E [X^{2}] - (E [X])^{2}$ ，其中 $E [X^{2}] = \sum x^{2} \cdot P (X = x)$ 。标准差就是方差的平方根，单位与原随机变量相同。

📐 例题

已知上述冰淇淋销量例子中 $E [X] = 20.25$ ，计算日销量的方差和标准差。

1
首先计算 $E [X^{2}] = \sum x^{2} P (X = x)$ ：
2
$E[X^2] = (10^2 \times 0.1) + (15^2 \times 0.2) + (20^2 \times 0.35) + (25^2 \times 0.25) + (30^2 \times 0.1)$
3
化简得：
4
$E[X^2] = 10 + 45 + 140 + 156.25 + 90 = 441.25$
5
应用方差公式：
6
$\text{Var}(X) = 441.25 - (20.25)^2 = 441.25 - 410.0625 = 31.1875$
7
计算标准差：
8
$\sigma = \sqrt{31.1875} \approx 5.58$

4. 常见陷阱

错误做法:

求出未知概率 $k$ 后跳过有效性检查

原因:

阅卷老师几乎总会给验证分布有效的步骤分配分数

正确做法:

求解未知值后，始终要说明概率和为1，并验证 $0 < k < 1$

错误做法:

将期望与最可能结果混淆

原因:

学生常误以为期望就是概率最高的结果，这是错误的

正确做法:

始终使用权重平均公式计算期望；期望可以不是任何一个可能结果

错误做法:

颠倒方差公式顺序： $(E [X])^{2} - E [X^{2}]$

原因:

这个顺序会得到负方差，这对任何分布都是不可能的

正确做法:

记住顺序： $Var (X) = E [X^{2}] - (E [X])^{2}$ ；如果得到负结果，说明你颠倒了项的顺序

错误做法:

在线性变换中，忘记方差随常数的平方缩放

原因:

学生混淆了期望和方差的变换规则

正确做法:

记住： $E [a X + b] = a E [X] + b$ ，但 $Var (a X + b) = a^{2} Var (X)$

错误做法:

假设所有离散结果都是等概率的

原因:

在题目未说明的情况下，学生自动给每个结果分配相等概率

正确做法:

只有题目明确说明所有结果等概率时，才能做这个假设

5. 速查表

概念	核心公式
有效性检查	$0 \leq P (X = x) \leq 1$ , $\sum P (X = x) = 1$
期望	$E [X] = \sum x P (X = x)$
$X^{2}$ 的期望	$E [X^{2}] = \sum x^{2} P (X = x)$
方差	$Var (X) = E [X^{2}] - (E [X])^{2}$
标准差	$σ = Var (X)$
线性变换：期望	$E [a X + b] = a E [X] + b$
线性变换：方差	$Var (a X + b) = a^{2} Var (X)$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · 1
求未知概率和期望
2023 · 2
计算期望利润和方差
2021 · 1
离散分布的方差计算

下一步

你在本小节学到的核心概念是IB AI SL考试中所有特定离散概率分布的基础，最典型的就是二项分布。从验证有效性到计算期望、方差的所有技能都可以直接应用于这些特定分布，因此掌握本内容会让后续学习更简单。这些概念也为你课程后续学习连续概率分布（描述区间内任意取值的结果）做准备。离散概率考题经常出现在试卷1和试卷2中，因此本小节是备考的高分值考点。