# 离散概率分布

> IB 数学：应用与解释 SL · IB AI SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-discrete-probability-distributions/

本小节介绍对离散随机过程结果建模的核心概念。你将学习验证有效分布、计算期望和方差，并将这些概念应用于IB AI SL考试中常见的实际问题。

**先修:** [基础概率法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-basic-probability-concepts/); [离散数据的描述统计学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-descriptive-statistics/)

## 学习目标

- 识别离散随机变量，验证有效的离散概率分布
- 计算离散概率分布的期望（均值）
- 计算离散概率分布的方差和标准差
- 将核心概念应用于实际概率问题

## 离散随机变量与有效概率分布

**离散概率分布** — 为离散随机变量的每个可能结果分配概率的函数，满足两个核心条件：所有概率都在0到1之间，且所有概率之和等于1。

*记法:* P(X=x)

*例:* 一周内的雨天数量，一批产品中的次品数量

IB考试非常常见的题型是让你求给定分布中的未知概率。你始终可以利用所有概率之和等于1的核心规则求解未知值，然后确认它满足0 ≤ p ≤ 1的条件。

**例题:** 离散随机变量$X$的概率分布为：$P(X=0)=0.12$，$P(X=1)=k$，$P(X=2)=0.45$，$P(X=3)=0.28$。求$k$的值并验证该分布有效。

1. 利用所有概率之和等于1的规则：
2. $$0.12 + k + 0.45 + 0.28 = 1$$
3. 化简并求解$k$：
4. $$0.85 + k = 1 \implies k = 1 - 0.85 = 0.15$$
5. 验证有效性：$0 \leq 0.15 \leq 1$，因此$k=0.15$对应一个有效的离散概率分布。

> **tip**
>
> 在考试题目中，有效性检查几乎至少占1分，永远不要跳过这一步。

## 离散分布的期望（均值）

**期望** — 随机变量多次重复试验的长期平均结果，计算方式为所有可能结果按概率加权的加权平均值。

*记法:* E[X] \text{ or } \mu

*例:* 日期望销量，游戏的期望利润

期望的公式为：对所有可能的$x$值，$E[X] = \sum x \cdot P(X=x)$。注意，期望不一定是分布的可能结果之一，它只是一个平均值。

**例题:** 一家小商店售卖冰淇淋，日销量的概率分布如下。计算每日售出冰淇淋的期望数量：
| $x$（售出冰淇淋数量） | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
|-----------------------------|----|----|----|----|----|
| $P(X=x)$                    | 0.1 | 0.2 | 0.35 | 0.25 | 0.1 |

1. 应用期望公式：
2. $$E[X] = (10 \times 0.1) + (15 \times 0.2) + (20 \times 0.35) + (25 \times 0.25) + (30 \times 0.1)$$
3. 计算每个乘积并求和：
4. $$E[X] = 1 + 3 + 7 + 6.25 + 3 = 20.25$$

> **考试提示**
>
> 对于期望利润问题，记得将成本或损失记为负值。例如，净亏损\$5应在计算中记为-5。

## 方差与标准差

**方差** — 度量结果围绕期望分散程度的指标。方差越大说明结果的变异性越高，方差越小说明结果越聚集在均值附近。

*记法:* \text{Var}(X) \text{ or } \sigma^2

*例:* 方差为0说明结果是固定的，没有变异性

IB AI SL中最常用的方差公式是$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$，其中$E[X^2] = \sum x^2 \cdot P(X=x)$。标准差就是方差的平方根，单位与原随机变量相同。

**例题:** 已知上述冰淇淋销量例子中$E[X] = 20.25$，计算日销量的方差和标准差。

1. 首先计算$E[X^2] = \sum x^2 P(X=x)$：
2. $$E[X^2] = (10^2 \times 0.1) + (15^2 \times 0.2) + (20^2 \times 0.35) + (25^2 \times 0.25) + (30^2 \times 0.1)$$
3. 化简得：
4. $$E[X^2] = 10 + 45 + 140 + 156.25 + 90 = 441.25$$
5. 应用方差公式：
6. $$\text{Var}(X) = 441.25 - (20.25)^2 = 441.25 - 410.0625 = 31.1875$$
7. 计算标准差：
8. $$\sigma = \sqrt{31.1875} \approx 5.58$$

## 常见错误

- **错误做法:** 求出未知概率$k$后跳过有效性检查
  - 原因: 阅卷老师几乎总会给验证分布有效的步骤分配分数
  - 正确做法: 求解未知值后，始终要说明概率和为1，并验证$0 < k < 1$
- **错误做法:** 将期望与最可能结果混淆
  - 原因: 学生常误以为期望就是概率最高的结果，这是错误的
  - 正确做法: 始终使用权重平均公式计算期望；期望可以不是任何一个可能结果
- **错误做法:** 颠倒方差公式顺序：$(E[X])^2 - E[X^2]$
  - 原因: 这个顺序会得到负方差，这对任何分布都是不可能的
  - 正确做法: 记住顺序：$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$；如果得到负结果，说明你颠倒了项的顺序
- **错误做法:** 在线性变换中，忘记方差随常数的平方缩放
  - 原因: 学生混淆了期望和方差的变换规则
  - 正确做法: 记住：$E[aX + b] = aE[X] + b$，但$\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$
- **错误做法:** 假设所有离散结果都是等概率的
  - 原因: 在题目未说明的情况下，学生自动给每个结果分配相等概率
  - 正确做法: 只有题目明确说明所有结果等概率时，才能做这个假设

## 速查表

| 概念 | 核心公式 |
| --- | --- |
| 有效性检查 | $0 \leq P(X=x) \leq 1$, $\sum P(X=x) = 1$ |
| 期望 | $E[X] = \sum x P(X=x)$ |
| $X^2$的期望 | $E[X^2] = \sum x^2 P(X=x)$ |
| 方差 | $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ |
| 标准差 | $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ |
| 线性变换：期望 | $E[aX + b] = aE[X] + b$ |
| 线性变换：方差 | $\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$ |

## 下一步

你在本小节学到的核心概念是IB AI SL考试中所有特定离散概率分布的基础，最典型的就是二项分布。从验证有效性到计算期望、方差的所有技能都可以直接应用于这些特定分布，因此掌握本内容会让后续学习更简单。这些概念也为你课程后续学习连续概率分布（描述区间内任意取值的结果）做准备。离散概率考题经常出现在试卷1和试卷2中，因此本小节是备考的高分值考点。

- [二项分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-binomial-distribution/)
- [正态分布及其应用](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-normal-distribution-and-applications/)
- [微积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-overview/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-discrete-probability-distributions/