学习指南

数据表示：直方图、箱线图、累积频率

IB 数学：应用与解释 SL· 第4单元：统计与概率，主题2· 15 分钟阅读

1. 分组连续数据的直方图★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

直方图

纵轴=频率密度，横轴=组边界纵轴 = 频率密度，横轴 = 组边界

分组连续数据的图形表示，每个条形的面积与组区间的频率成正比。

例:

对于频率为15的组10-20，频率密度 =

与分类数据的条形图不同，直方图的条形之间没有间隙，因为基础数据是连续的。当组距不相等时，每个条形的高度（即频率密度）不等于频率：只有条形的面积才代表总频率。

📐 例题

计算50个苹果分组质量数据的频率密度，并描述如何绘制直方图。组：50-60（频率=8）、60-80（频率=22）、80-100（频率=20）

  1. 1

    计算每个区间的组距：

  2. 2
    50-60:60−50=10;60-80:80−60=20;80-100:100−80=2050\text{-}60: 60 - 50 = 10; \quad 60\text{-}80: 80 - 60 = 20; \quad 80\text{-}100: 100 - 80 = 20
  3. 3

    计算每个区间的频率密度 = 频率 / 组距：

  4. 4
    50-60:8/10=0.8;60-80:22/20=1.1;80-100:20/20=1.050\text{-}60: 8/10 = 0.8; \quad 60\text{-}80: 22/20 = 1.1; \quad 80\text{-}100: 20/20 = 1.0
  5. 5

    绘制坐标轴：横轴为质量，纵轴为频率密度。从组下界到组上界绘制每个条形，高度等于计算得到的频率密度。

Exam tip:

IB考试题目几乎总会使用不等组距来考察你是否理解面积等于频率，而非高度等于频率。遇到不等组距时，一定要先计算频率密度。

2. 箱线图与五数概括★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

箱线图（盒须图）

箱体从Q1延伸到Q3，中位数处有一条线，须延伸到最小值/最大值箱体从Q1延伸到Q3，中位数处有一条线，须延伸到最小值/最大值

基于五数概括的数值数据可视化展示，用于比较分布、识别偏度和异常值。

例:

对称分布的中位数线会在箱体中心，且须的长度相等。

箱线图是IB考试中比较两个或多个分布最常用的工具。要得满分，你必须同时说明分布的中心（由中位数衡量）和离散程度（由四分位距或极差衡量）。

📐 例题

求以下原始数据集的五数概括：

  1. 1

    确认数据已按升序排列（本题数据已经排好序，共有个值）

  2. 2

    找到中位数（Q2）：位置 = 项，因此中位数 =

  3. 3

    找到Q1：数据下半部分的中位数（前5项）：第项 =

  4. 4

    找到Q3：数据上半部分的中位数（后5项）：第项 =

  5. 5

    五数概括：最小值 = ，Q1 = ，中位数 = ，Q3 = ，最大值 =

Exam tip:

比较两个箱线图时，一定要分别给出两点说明：一点关于平均/中心（中位数），一点关于变异/离散程度（IQR），这样才能得满分。

3. 累积频率图★★★☆☆⏱ 6 min

📘 定义

累积频率图

纵轴=累积频率，横轴=组上边界纵轴 = 累积频率，横轴 = 组上边界

将累计频率对组上边界绘制的图，用于估计分组数据的百分位数、四分位数和中位数。

要找到任意百分位数，从所需累积频率位置向曲线画一条水平线，再向下画一条垂直线到横轴，读取估计值即可。对于总共有个数据点，中位数在处，Q1在处，Q3在处。

📐 例题

根据以下累积频率数据，估计100名学生的中位数身高：上界（cm）：150（累积频率=12）、160（累积频率=35）、170（累积频率=68）、180（累积频率=92）、190（累积频率=100）

  1. 1

    100名学生的中位数是第50个值，因此我们需要找累积频率=50对应的身高

  2. 2

    绘制所有（上界，累积频率）点，并用平滑曲线连接

  3. 3

    50落在累积频率35（160 cm）和累积频率68（170 cm）之间，插值得出估计：

  4. 4
    Estimated median=160+(170−160)×50−3568−35≈164.5 cm\text{Estimated median} = 160 + (170-160) \times \frac{50-35}{68-35} \approx 164.5 \text{ cm}

4. 常见陷阱

错误做法:

不等组距直方图中将条形高度视为频率

原因:

混淆直方图和条形图，导致频率计算错误

正确做法:

不等组距一定要计算频率密度 = 频率 / 组距，记住面积等于频率

错误做法:

未先排序就计算原始数据的四分位数

原因:

答题仓促导致四分位数的位置和数值错误

正确做法:

找百分位数或五数概括前，一定要先将原始数据按升序排序

错误做法:

将累积频率对组中值绘图

原因:

混淆直方图的绘图规则，导致百分位数估计错误

正确做法:

一定要将累积频率对组上边界绘图，因为累积频率统计的是所有不超过该边界的值

错误做法:

比较箱线图时仅说明平均水平

原因:

忘记比较题需要同时说明中心和离散程度才能得满分

正确做法:

一定要分别给出一点关于中心（中位数）和一点关于离散程度（IQR/极差）的说明

5. 速查表

图形类型

关键特征

考试常见用途

快速提示

直方图

面积 = 频率，纵轴为频率密度，无间隙

展示分组连续数据

检查是否为不等组距

箱线图

五数概括，可显示异常值

比较分布、识别偏度

同时比较中位数和IQR

累积频率图

对组上边界绘图

估计四分位数/百分位数

中位数 = n/2，Q1 = n/4，Q3 = 3n/4

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

  • 2025 · Paper 1

    解读箱线图并比较分布

  • 2024 · Paper 2

    从累积频率估计四分位数

  • 2023 · Paper 1

    为不等组距绘制直方图

深入阅读

下一步

本子主题是IB AI SL所有描述性统计的基础，在Paper 1和Paper 2中都会考察。掌握这些数据表示方法是学习双变量数据分析、相关性和概率分布的基础。这些技能也经常出现在结合多个统计主题的扩展回答题中，因此尽早打下扎实的基础会帮助你后续学习更复杂的主题。