# 数据表示：直方图、箱线图、累积频率

> IB 数学：应用与解释 SL · IB AI SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-data-representation-histograms-box-plots/

本模块讲解IB AI SL的核心可视化数据表示方法。你将学习如何绘制、读取直方图、箱线图和累积频率图并从中得出结论，这些都是考试中经常出现的考点。

**先修:** [集中趋势和离散程度的度量](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-measures-central-tendency-spread/)

## 学习目标

- 为分组连续数据（包括不等组距的情况）绘制直方图
- 推导五数概括，并解读/绘制箱线图以比较分布
- 绘制累积频率图，估计百分位数、四分位数和中位数
- 从这三种表示中识别分布的关键特征（偏度、异常值）

## 分组连续数据的直方图

**直方图** — 分组连续数据的图形表示，每个条形的面积与组区间的频率成正比。

*记法:* 纵轴 = 频率密度，横轴 = 组边界

*例:* 对于频率为15的组10-20，频率密度 = $15/(20-10) = 1.5$

与分类数据的条形图不同，直方图的条形之间没有间隙，因为基础数据是连续的。当组距不相等时，每个条形的高度（即频率密度）不等于频率：只有条形的面积才代表总频率。

**例题:** 计算50个苹果分组质量数据的频率密度，并描述如何绘制直方图。组：50-60（频率=8）、60-80（频率=22）、80-100（频率=20）

1. 计算每个区间的组距：
2. $$50\text{-}60: 60 - 50 = 10; \quad 60\text{-}80: 80 - 60 = 20; \quad 80\text{-}100: 100 - 80 = 20$$
3. 计算每个区间的频率密度 = 频率 / 组距：
4. $$50\text{-}60: 8/10 = 0.8; \quad 60\text{-}80: 22/20 = 1.1; \quad 80\text{-}100: 20/20 = 1.0$$
5. 绘制坐标轴：横轴为质量，纵轴为频率密度。从组下界到组上界绘制每个条形，高度等于计算得到的频率密度。

> **考试提示:** IB考试题目几乎总会使用不等组距来考察你是否理解面积等于频率，而非高度等于频率。遇到不等组距时，一定要先计算频率密度。

## 箱线图与五数概括

**箱线图（盒须图）** — 基于五数概括的数值数据可视化展示，用于比较分布、识别偏度和异常值。

*记法:* 箱体从Q1延伸到Q3，中位数处有一条线，须延伸到最小值/最大值

*例:* 对称分布的中位数线会在箱体中心，且须的长度相等。

箱线图是IB考试中比较两个或多个分布最常用的工具。要得满分，你必须同时说明分布的中心（由中位数衡量）和离散程度（由四分位距或极差衡量）。

**例题:** 求以下原始数据集的五数概括：$[2, 3, 5, 7, 8, 10, 14, 15, 18, 20, 22]$

1. 确认数据已按升序排列（本题数据已经排好序，共有$n=11$个值）
2. 找到中位数（Q2）：位置 = $\frac{n+1}{2} = 6^{\text{th}}$ 项，因此中位数 = $10$
3. 找到Q1：数据下半部分的中位数（前5项）：第$3^{\text{rd}}$项 = $5$
4. 找到Q3：数据上半部分的中位数（后5项）：第$9^{\text{th}}$项 = $18$
5. 五数概括：最小值 = $2$，Q1 = $5$，中位数 = $10$，Q3 = $18$，最大值 = $22$

> **考试提示:** 比较两个箱线图时，一定要分别给出两点说明：一点关于平均/中心（中位数），一点关于变异/离散程度（IQR），这样才能得满分。

## 累积频率图

**累积频率图** — 将累计频率对组上边界绘制的图，用于估计分组数据的百分位数、四分位数和中位数。

*记法:* 纵轴 = 累积频率，横轴 = 组上边界

要找到任意百分位数，从所需累积频率位置向曲线画一条水平线，再向下画一条垂直线到横轴，读取估计值即可。对于总共有$n$个数据点，中位数在$\frac{n}{2}$处，Q1在$\frac{n}{4}$处，Q3在$\frac{3n}{4}$处。

**例题:** 根据以下累积频率数据，估计100名学生的中位数身高：上界（cm）：150（累积频率=12）、160（累积频率=35）、170（累积频率=68）、180（累积频率=92）、190（累积频率=100）

1. 100名学生的中位数是第50个值，因此我们需要找累积频率=50对应的身高
2. 绘制所有（上界，累积频率）点，并用平滑曲线连接
3. 50落在累积频率35（160 cm）和累积频率68（170 cm）之间，插值得出估计：
4. $$\text{Estimated median} = 160 + (170-160) \times \frac{50-35}{68-35} \approx 164.5 \text{ cm}$$

> **info**
>
> 考试中经常使用累积频率图来得到分组数据绘制箱线图所需的四分位数。

## 常见错误

- **错误做法:** 不等组距直方图中将条形高度视为频率
  - 原因: 混淆直方图和条形图，导致频率计算错误
  - 正确做法: 不等组距一定要计算频率密度 = 频率 / 组距，记住面积等于频率
- **错误做法:** 未先排序就计算原始数据的四分位数
  - 原因: 答题仓促导致四分位数的位置和数值错误
  - 正确做法: 找百分位数或五数概括前，一定要先将原始数据按升序排序
- **错误做法:** 将累积频率对组中值绘图
  - 原因: 混淆直方图的绘图规则，导致百分位数估计错误
  - 正确做法: 一定要将累积频率对组上边界绘图，因为累积频率统计的是所有不超过该边界的值
- **错误做法:** 比较箱线图时仅说明平均水平
  - 原因: 忘记比较题需要同时说明中心和离散程度才能得满分
  - 正确做法: 一定要分别给出一点关于中心（中位数）和一点关于离散程度（IQR/极差）的说明

## 速查表

| 图形类型 | 关键特征 | 考试常见用途 | 快速提示 |
| --- | --- | --- | --- |
| 直方图 | 面积 = 频率，纵轴为频率密度，无间隙 | 展示分组连续数据 | 检查是否为不等组距 |
| 箱线图 | 五数概括，可显示异常值 | 比较分布、识别偏度 | 同时比较中位数和IQR |
| 累积频率图 | 对组上边界绘图 | 估计四分位数/百分位数 | 中位数 = n/2，Q1 = n/4，Q3 = 3n/4 |

## 下一步

本子主题是IB AI SL所有描述性统计的基础，在Paper 1和Paper 2中都会考察。掌握这些数据表示方法是学习双变量数据分析、相关性和概率分布的基础。这些技能也经常出现在结合多个统计主题的扩展回答题中，因此尽早打下扎实的基础会帮助你后续学习更复杂的主题。

- [集中趋势度量](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-measures-of-central-tendency/)
- [离散程度度量：方差、标准差](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-measures-of-spread-variance-standard/)
- [相关性与线性回归](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-correlation-and-linear-regression/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-data-representation-histograms-box-plots/