# 相关性与线性回归

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-correlation-and-linear-regression/

本模块讲解双变量定量数据的分析，包括解释相关性、计算皮尔逊$r$、求最小二乘回归直线，以及用其进行预测。你将学习如何避开考试中关于因果关系和外插法的常见陷阱。

**先修:** [单变量描述统计学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-descriptive-statistics/)

## 学习目标

- 区分双变量数据中的相关性与因果关系
- 计算并解释皮尔逊积矩相关系数
- 使用技术工具求$y$对$x$的最小二乘回归直线方程
- 区分内插法和外插法，并评价预测的可靠性

## 相关性与皮尔逊$r$

**双变量数据** — 从每个观测中收集两个不同定量变量的数据。我们分析双变量数据以识别两个变量之间的关系。

*例:* 记录50名成年参与者的身高和体重

散点图将每对$(x,y)$数据点绘制在坐标轴上，让我们可以看出是否存在向上（正）或向下（负）的线性趋势。皮尔逊积矩相关系数$r$对该趋势进行量化。

**皮尔逊积矩相关系数** — 衡量两个变量之间*线性*关系的强度和方向的标准化指标，固定取值范围为$-1 \leq r \leq 1$。

*记法:* $r$

- $r=+1$: 完全正线性相关
- $r=-1$: 完全负线性相关
- $r=0$: 无线性相关

> **info**
>
> **相关性不代表因果关系**。两个变量之间的强相关性并不能证明一个变量的变化由另一个变量引起。这种关系可能源于巧合，或者同时影响两个变量的第三个『潜变量』。

**例题:** 一项研究发现，派往火灾现场的消防员数量与火灾造成的损失量之间的$r=0.92$。解释$r$的含义，并说明为什么更多消防员不会造成更多损失。

1. 首先，解释$r$的值：
2. $$r = 0.92$$
3. $r=0.92$是正的且非常接近1，因此派往火灾现场的消防员数量和火灾损失量之间存在非常强的正线性关系。
4. 这种相关性并不意味着消防员会造成更多损失。潜变量——火灾的规模——同时导致了这两个结果：更大的火灾需要更多消防员，也会造成更多损失。

> **考试提示:** 始终结合题目给定变量的背景解释$r$，不要只给出数值。考试中通常会为结合背景分配1分。

*计算器:* allowed

## 最小二乘回归直线

如果两个变量之间存在线性关系，我们可以用一条称为最小二乘回归直线的直线对关系建模，并用它从一个变量预测另一个变量的值。

**（$y$对$x$的）最小二乘回归直线** — 使观测$y$值与直线之间的垂直距离（残差）的平方和最小的直线。$y$是响应（预测）变量，$x$是解释（自变量）变量。

*记法:* \hat{y} = a + bx

> **tip**
>
> 在GDC上计算回归直线之前，始终将要预测的变量设为$y$，已知变量设为$x$。

**例题:** 下表给出了7天的日气温（$^\circ C$，$x$）和海滩商店售出的冰淇淋数量（$y$）。求$y$对$x$的回归直线方程，保留3位有效数字。 

$x = [18, 20, 22, 25, 26, 28, 30]$
$y = [120, 155, 160, 190, 210, 240, 250]$

1. 1. 将$x$和$y$数据输入GDC的统计模式。
2. 2. 运行线性回归计算截距$a$和斜率$b$。
3. 3. 将系数四舍五入到3位有效数字：$a \approx -111$和$b \approx 12.2$。
4. 4. 写出结合背景的方程：
5. $$\hat{y} = -111 + 12.2x$$
6. 其中$\hat{y}$是预测售出冰淇淋数量，$x$是以$^\circ C$为单位的日气温。

> **考试提示:** 除非另有说明，IB要求回归系数保留3位有效数字。计算过程中避免过早四舍五入。

*计算器:* allowed

## 预测：内插法 vs 外插法

我们使用回归直线预测给定$x$对应的未知$y$值。预测的可靠性取决于$x$值是否落在构造直线的原始数据范围内。

**内插法** — 对位于原始$x$数据范围内的$x$值预测$y$的值。内插法通常是可靠的，因为我们已知线性关系在该范围内成立。

**外插法** — 对位于原始$x$数据范围外的$x$值预测$y$的值。外插法是不可靠的，因为没有证据表明线性关系会延续到观测范围之外。

> **warning**
>
> IB考试题目几乎总会根据预测是内插还是外插，为评价预测可靠性分配1分。永远不要跳过这一步。

**例题:** 使用上一个例子中的冰淇淋回归直线，原始$x$值范围为$18^\circ C$到$30^\circ C$。判断每个预测是内插还是外插，并评价可靠性：(a) 预测$24^\circ C$时的冰淇淋销量，(b) 预测$10^\circ C$时的冰淇淋销量。

1. (a) $24^\circ C$位于18和30之间，因此该预测属于内插法。预计该预测是可靠的。
2. (b) $10^\circ C$小于原始$x$的最小值$18^\circ C$，因此这是外插法。该预测不可靠，因为我们不知道线性关系在这个更低温度下是否成立。例如，商店在$10^\circ C$时可能售出0个冰淇淋，但直线会预测出正值。

> **考试提示:** 在证明你对可靠性评价的合理性时，始终参考原始数据范围。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 声称强相关性证明一个变量导致另一个变量。
  - 原因: 出题人专门考查对相关性和因果关系差异的理解，错误的因果声明会被扣分。
  - 正确做法: 除非关系经过对照实验确认，否则应说明相关性仅表示关联，不代表因果关系。
- **错误做法:** 计算回归直线时交换$x$和$y$，将错误变量用作响应变量。
  - 原因: $y$对$x$的回归直线会根据你预测哪个变量而变化，交换会得到错误的方程。
  - 正确做法: 始终确认你需要预测哪个变量，在GDC上运行回归之前将其设为$y$。
- **错误做法:** 声称$r=0$意味着两个变量之间完全没有关系。
  - 原因: $r$仅衡量线性关系，因此$r=0$不排除存在强非线性关系。
  - 正确做法: 说明$r=0$意味着两个变量之间*没有线性关系*。
- **错误做法:** 计算预测后忘记评价预测的可靠性。
  - 原因: 大多数考试题目会明确为这个评价分配1分，很容易失分。
  - 正确做法: 始终将预测的$x$值与原始数据范围比较，说明它是内插（可靠）还是外插（不可靠）。

## 速查表

| 概念 | 核心含义 | 考试提示 |
| --- | --- | --- |
| $r = +1$ | 完全正线性相关 | 所有点都在向上的直线上 |
| $r = -1$ | 完全负线性相关 | 所有点都在向下的直线上 |
| $\|r\| > 0.7$ | 强线性相关性 |  |
| $0.3 < \|r\| < 0.7$ | 中等线性相关性 |  |
| $\|r\| < 0.3$ | 弱线性相关性 | $r=0$ = 无线性相关 |
| 回归直线 | $\hat{y} = a + bx$ | $y$ = 待预测变量 |
| 内插法 | $x$在原始范围内 | 预测可靠 |
| 外插法 | $x$在原始范围外 | 预测不可靠 |
| 相关性 $\neq$ 因果关系 | 关联不证明因果关系 | 这类题目一定要注意 |

## 下一步

相关性与线性回归是IB AI SL中所有进一步变量关系统计分析的基础概念。它构成了理解残差分析、拟合优度，以及数据非线性变换以拟合线性模型的基础。掌握相关性与因果关系、内插与外插的核心区别，将帮助你避开考试题目中的常见错误，为更高级的统计主题打下坚实基础。

- [基础概率概念与复合事件](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-basic-probability-concepts-and-combined/)
- [条件概率与独立性](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-conditional-probability-and-independence/)
- [离散概率分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-discrete-probability-distributions/)

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