二项分布

IB 数学 AI SL· Unit 4: Statistics and Probability, Topic 9· 25 分钟阅读

1. 二项分布的条件★★☆☆☆⏱ 6 min

二项分布对一系列相同试验中的成功次数（我们关注的结果）建模。它仅在满足四个核心条件时适用。

📘 定义

二项分布

X \sim B(n, p)

描述固定次数独立伯努利试验中成功次数的离散概率分布。

例:

抛10次硬币得到正面的次数

固定试验次数 ( $n$ )
每次试验与其他所有试验相互独立
每次试验只有两种可能结果 (成功/失败)
所有试验的成功概率 ( $p$ ) 保持恒定

📐 例题

某工厂生产的灯泡有5%是次品。随机抽取10个灯泡。次品数量能否用二项分布建模？

1
逐一检查每个条件：
2
1. 固定试验次数： $n = 10$ ，因此满足条件
3
1. 两种结果：次品（成功）或非次品（失败），满足条件
4
1. 独立性：随机抽样意味着一个灯泡是否次品不影响另一个，满足条件
5
1. 恒定概率：所有灯泡的 $p = 0.05$ ，满足条件
6
结论：可以，次品数量可以建模为 $X \sim B (10, 0.05)$

2. 二项概率的计算★★★☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

要计算恰好 $k$ 次成功的概率，我们使用二项概率公式。对于IB AI SL，你通常会使用GDC计算概率，但你必须掌握公式以应对'证明'类问题。

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

对于累积概率（至多/至少 $k$ 次成功的概率），我们使用以下规则：

至多 $k$ 次成功: $P (X \leq k)$ (直接使用GDC二项累积分布函数)
少于 $k$ 次成功: $P (X < k) = P (X \leq k - 1)$
多于 $k$ 次成功: $P (X > k) = 1 - P (X \leq k)$
至少 $k$ 次成功: $P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)$

📐 例题

给定 $X \sim B (10, 0.05)$ ，求 $P (X \geq 1)$ 。

1
我们知道 $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - P (X \leq 0)$
2
代入 $P (X = 0)$ 的公式：
3
$P(X=0) = \binom{10}{0} (0.05)^0 (0.95)^{10} = 1 \times 1 \times (0.95)^{10} \approx 0.5987$
4
计算最终结果： $P (X \geq 1) = 1 - 0.5987 = 0.4013$ (保留四位小数)
5
这与GDC二项累积分布得到的结果一致，验证了答案正确。

3. 期望与方差★★☆☆☆⏱ 5 min

对于任意二项分布 $X \sim B (n, p)$ ，我们可以使用简单公式计算均值（期望）和方差，无需构建完整的概率分布。

E(X) = np

Var(X) = np(1-p)

标准差是方差的平方根： $σ = V a r (X)$ 。

📐 例题

抛一枚均匀硬币100次， $X$ 是得到正面的次数。求 $X$ 的期望和标准差。

1
首先确认分布： $X \sim B (100, 0.5)$
2
计算期望： $E (X) = n p = 100 \times 0.5 = 50$
3
计算方差： $V a r (X) = n p (1 - p) = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25$
4
计算标准差： $σ = 25 = 5$

4. 实际问题求解★★★★☆⏱ 6 min

✓ 计算器

IB考试中该主题的题目几乎都要求你将二项分布应用到实际场景，遵循一致的分步流程即可。

📐 例题

某人群中30%的成年人戴眼镜。随机抽取20名成年人。求超过5人戴眼镜的概率，以及戴眼镜人数的期望。

1
步骤1：检查条件：固定 $n = 20$ ，独立随机样本，两种结果，恒定 $p = 0.3$ 。因此 $X \sim B (20, 0.3)$
2
步骤2：我们需要求 $P (X > 5) = 1 - P (X \leq 5)$
3
步骤3：使用GDC二项累积分布函数得到 $P (X \leq 5) \approx 0.4164$
4
步骤4：计算得 $P (X > 5) = 1 - 0.4164 = 0.584$ (保留三位有效数字)
5
步骤5：期望 $E (X) = n p = 20 \times 0.3 = 6$

✓ 快速检测

以下哪种场景不能用二项分布建模？

哪种场景不能使用二项模型？
- A: 掷骰子10次得到6点的次数
- B: 从一副牌中不放回抽取5张牌，得到红牌的数量
- C: 随机抽取100名选民中支持候选人A的人数
- D: 20件产品中的次品数量
显示答案
B: 从一副牌中不放回抽取5张牌，得到红牌的数量 —
正确！不放回抽取意味着试验不独立，每次抽取后概率都会变化，因此不满足二项分布条件。

5. 常见陷阱

错误做法:

对从小总体不放回抽样的场景使用二项分布

原因:

试验不独立，因此不满足恒定概率条件

正确做法:

仅对有放回抽样，或概率变化可忽略的大总体抽样使用二项分布

错误做法:

将 $P (X \geq k)$ 计算为 $1 - P (X \leq k)$

原因:

这会错误地将 $k$ 排除在结果外，得到的结果偏低

正确做法:

始终使用 $P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)$ ，并再次检查不等式方向

错误做法:

过早舍入 $p$ 或中间概率

原因:

过早舍入会导致最终结果精度损失，丢失分数

正确做法:

直到最后一步前都保留GDC中的所有小数，仅将最终答案舍入到要求的精度

错误做法:

使用模型前忘记检查二项条件

原因:

考试题目经常设置不满足条件的场景，直接假设为二项分布会失分

正确做法:

在说明二项分布适用前，始终明确检查四个条件

6. 速查表

性质	公式/规则	考试注意事项
条件	固定 $n$ , 独立, 2 种结果, 恒定 $p$	所有题目都要先检查
记号	$X \sim B (n, p)$	$n$ = 试验次数, $p$ = P(成功)
$P (X = k)$	$(k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$	使用GDC binompdf
$P (X \leq k)$	概率的累积和	使用GDC binomcdf
$P (X \geq k)$	$1 - P (X \leq k - 1)$	最常见的不等式错误点
期望	$E (X) = n p$	可以是小数
方差	$V a r (X) = n p (1 - p)$	SD = $V a r (X)$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
二项概率计算
2021 · 2
实际场景二项分布问题
2023 · 1
二项分布的期望

下一步

二项分布是IB AI SL概率与统计部分最常考的主题之一，也是你后续学习很多更高阶概念的基础。掌握条件检查和累积概率计算能帮助你在Paper 1和Paper 2的题目中拿到满分。二项模型也是比例假设检验的基础，这是IB AI SL大纲第5单元的核心主题。你在这里学到的技巧可以直接应用到该主题，以及所有其他涉及离散结果的概率问题中。