# 二项分布

> IB 数学 AI SL · 统计与概率
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-binomial-distribution/

本模块讲解二项分布的使用条件、精确概率和累积概率的计算方法、期望和方差的求解，以及如何将二项模型应用于IB AI SL考试中常见的实际问题。

**先修:** [离散随机变量](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-discrete-random-variables/); [基础概率法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-probability-fundamentals/)

## 学习目标

- 识别二项分布满足的四个条件
- 使用公式和GDC计算二项概率（精确概率和累积概率）
- 求二项分布的期望、方差和标准差
- 解决涉及二项模型的实际考试问题

## 二项分布的条件

二项分布对一系列相同试验中的成功次数（我们关注的结果）建模。它仅在满足四个核心条件时适用。

**二项分布** — 描述固定次数独立伯努利试验中成功次数的离散概率分布。

*记法:* X \sim B(n, p)

*例:* 抛10次硬币得到正面的次数

- 固定试验次数 ($n$)
- 每次试验与其他所有试验相互独立
- 每次试验只有两种可能结果 (成功/失败)
- 所有试验的成功概率 ($p$) 保持恒定

> **warning**
>
> 大多数考试错误都源于使用二项模型前未检查这些条件。请务必首先确认独立性和固定$n$。

**例题:** 某工厂生产的灯泡有5%是次品。随机抽取10个灯泡。次品数量能否用二项分布建模？

1. 逐一检查每个条件：
2. 1. 固定试验次数：$n=10$，因此满足条件
3. 2. 两种结果：次品（成功）或非次品（失败），满足条件
4. 3. 独立性：随机抽样意味着一个灯泡是否次品不影响另一个，满足条件
5. 4. 恒定概率：所有灯泡的$p=0.05$，满足条件
6. 结论：可以，次品数量可以建模为 $X \sim B(10, 0.05)$

## 二项概率的计算

要计算恰好$k$次成功的概率，我们使用二项概率公式。对于IB AI SL，你通常会使用GDC计算概率，但你必须掌握公式以应对'证明'类问题。

$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

对于累积概率（至多/至少$k$次成功的概率），我们使用以下规则：

- 至多 $k$ 次成功: $P(X \leq k)$ (直接使用GDC二项累积分布函数)
- 少于 $k$ 次成功: $P(X < k) = P(X \leq k-1)$
- 多于 $k$ 次成功: $P(X > k) = 1 - P(X \leq k)$
- 至少 $k$ 次成功: $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$

**例题:** 给定 $X \sim B(10, 0.05)$，求 $P(X \geq 1)$。

1. 我们知道 $P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - P(X \leq 0)$
2. 代入$P(X=0)$的公式：
3. $$P(X=0) = \binom{10}{0} (0.05)^0 (0.95)^{10} = 1 \times 1 \times (0.95)^{10} \approx 0.5987$$
4. 计算最终结果：$P(X \geq 1) = 1 - 0.5987 = 0.4013$ (保留四位小数)
5. 这与GDC二项累积分布得到的结果一致，验证了答案正确。

*计算器:* allowed

## 期望与方差

对于任意二项分布$X \sim B(n,p)$，我们可以使用简单公式计算均值（期望）和方差，无需构建完整的概率分布。

$$E(X) = np$$

$$Var(X) = np(1-p)$$

标准差是方差的平方根：$\sigma = \sqrt{Var(X)}$。

> **info**
>
> 即使$X$是离散变量，期望也可以是小数。除非题目明确要求，否则不要将其舍入为整数。

**例题:** 抛一枚均匀硬币100次，$X$是得到正面的次数。求$X$的期望和标准差。

1. 首先确认分布：$X \sim B(100, 0.5)$
2. 计算期望：$E(X) = np = 100 \times 0.5 = 50$
3. 计算方差：$Var(X) = np(1-p) = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25$
4. 计算标准差：$\sigma = \sqrt{25} = 5$

## 实际问题求解

IB考试中该主题的题目几乎都要求你将二项分布应用到实际场景，遵循一致的分步流程即可。

**例题:** 某人群中30%的成年人戴眼镜。随机抽取20名成年人。求超过5人戴眼镜的概率，以及戴眼镜人数的期望。

1. 步骤1：检查条件：固定$n=20$，独立随机样本，两种结果，恒定$p=0.3$。因此$X \sim B(20, 0.3)$
2. 步骤2：我们需要求$P(X > 5) = 1 - P(X \leq 5)$
3. 步骤3：使用GDC二项累积分布函数得到$P(X \leq 5) \approx 0.4164$
4. 步骤4：计算得$P(X > 5) = 1 - 0.4164 = 0.584$ (保留三位有效数字)
5. 步骤5：期望$E(X) = np = 20 \times 0.3 = 6$

**概念自测**

以下哪种场景不能用二项分布建模？

1. 哪种场景不能使用二项模型？

   - A: 掷骰子10次得到6点的次数
   - B: 从一副牌中不放回抽取5张牌，得到红牌的数量
   - C: 随机抽取100名选民中支持候选人A的人数
   - D: 20件产品中的次品数量

   *解析:* 正确！不放回抽取意味着试验不独立，每次抽取后概率都会变化，因此不满足二项分布条件。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 对从小总体不放回抽样的场景使用二项分布
  - 原因: 试验不独立，因此不满足恒定概率条件
  - 正确做法: 仅对有放回抽样，或概率变化可忽略的大总体抽样使用二项分布
- **错误做法:** 将$P(X \geq k)$计算为$1 - P(X \leq k)$
  - 原因: 这会错误地将$k$排除在结果外，得到的结果偏低
  - 正确做法: 始终使用$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$，并再次检查不等式方向
- **错误做法:** 过早舍入$p$或中间概率
  - 原因: 过早舍入会导致最终结果精度损失，丢失分数
  - 正确做法: 直到最后一步前都保留GDC中的所有小数，仅将最终答案舍入到要求的精度
- **错误做法:** 使用模型前忘记检查二项条件
  - 原因: 考试题目经常设置不满足条件的场景，直接假设为二项分布会失分
  - 正确做法: 在说明二项分布适用前，始终明确检查四个条件

## 速查表

| 性质 | 公式/规则 | 考试注意事项 |
| --- | --- | --- |
| 条件 | 固定 $n$, 独立, 2 种结果, 恒定 $p$ | 所有题目都要先检查 |
| 记号 | $X \sim B(n, p)$ | $n$ = 试验次数, $p$ = P(成功) |
| $P(X=k)$ | $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ | 使用GDC binompdf |
| $P(X \leq k)$ | 概率的累积和 | 使用GDC binomcdf |
| $P(X \geq k)$ | $1 - P(X \leq k-1)$ | 最常见的不等式错误点 |
| 期望 | $E(X) = np$ | 可以是小数 |
| 方差 | $Var(X) = np(1-p)$ | SD = $\sqrt{Var(X)}$ |

## 下一步

二项分布是IB AI SL概率与统计部分最常考的主题之一，也是你后续学习很多更高阶概念的基础。掌握条件检查和累积概率计算能帮助你在Paper 1和Paper 2的题目中拿到满分。二项模型也是比例假设检验的基础，这是IB AI SL大纲第5单元的核心主题。你在这里学到的技巧可以直接应用到该主题，以及所有其他涉及离散结果的概率问题中。

- [正态分布及其应用](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-normal-distribution-and-applications/)
- [微积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-overview/)
- [导数作为切线斜率与变化率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u5-derivative-as-gradient-of-tangent/)

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