基础概率概念与复合事件

IB 数学 AI SL· IB AI SL 4.6· 15 分钟阅读

1. 核心定义与基础概率公理★☆☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

古典概率

P(A)

对于结果等可能的试验，事件 $A$ 的概率等于 $A$ 中结果数量与样本空间总结果数量的比值。

例:

抛掷一枚均匀六面骰子: $P (掷出 2) = \frac{1}{6}$

任意有效概率都满足 $0 \leq P (A) \leq 1$
整个样本空间的概率为 $P (S) = 1$ ，因此至少会有一个结果发生
对于 $A$ 的补集（所有不在 $A$ 中的结果）， $P (A^{'}) = 1 - P (A)$

📐 例题

从一副均匀的标准52张扑克牌中随机抽1张，抽到A的概率是多少？

1
步骤1：确定样本空间的大小，所有结果等可能。
2
$n(S) = 52$
3
步骤2：统计事件 $A$ （抽到A）中的结果数量。
4
$n(A) = 4$
5
步骤3：应用古典概率公式。
6
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
7
确认结果在0到1之间，因此有效。概率为 $\frac{1}{13}$ 。

2. 复合事件与集合符号★★☆☆☆⏱ 20 min

📘 定义

复合事件

交集: $A \cap B$ , 并集: $A \cup B$

复合事件由两个单独事件构成：交集表示两个事件都发生，并集表示至少一个事件发生。

例:

对于 $A = {抽到红桃}$ 和 $B = {抽到 A}$ , $A \cap B = {红桃 A}$

在IB AI SL中，韦恩图是可视化复合事件的标准工具。矩形代表整个样本空间，每个圆代表一个事件，重叠区域代表交集。

📐 例题

一个班级有30名学生，18人踢足球，15人打篮球，7人不参加这两项运动。有多少学生同时参加两项运动？

1
步骤1：计算至少参加一项运动的学生人数。
2
$n(A \cup B) = \text{总人数} - n(\text{都不参加}) = 30 - 7 = 23$
3
步骤2：使用复合事件的集合计数公式，整理后求解交集。
4
$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) = 18 + 15 - 23 = 10$
5
步骤3：验证总人数: $8 （只踢足球） + 10 （两项都参加） + 5 （只打篮球） + 7 （都不参加） = 30$ , 与总数一致。因此有10名学生同时参加两项运动。

3. 加法法则与互斥事件★★☆☆☆⏱ 20 min

📘 定义

互斥事件

$A \cap B = \emptyset$

如果两个事件不能同时发生，它们就是互斥事件，因此它们的交集为空，且 $P (A \cap B) = 0$ 。

例:

抛掷骰子: 事件'掷出2'和'掷出奇数'是互斥事件。

通用加法法则适用于任意两个事件，无论它们是否互斥。将集合计数法则除以总样本量即可得到概率形式：

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

对于互斥事件，法则简化为 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ 因为 $P (A \cap B) = 0$ 。

📐 例题

一个有12个分区的转盘，编号1到12，转动一次。事件A = 转出3的倍数，事件B = 转出4的倍数。A和B是互斥事件吗？求 $P (A \cup B)$ 。

1
步骤1：列出每个事件的结果: $A = {3, 6, 9, 12}$ , $B = {4, 8, 12}$
2
步骤2：检查交集: $A \cap B = {12}$ , 因此 $P (A \cap B) = \frac{1}{12} \neq = 0$ 。两个事件不是互斥事件。
3
步骤3：计算单个概率:
4
$P(A) = \frac{4}{12}, \quad P(B) = \frac{3}{12}$
5
步骤4：应用通用加法法则:
6
$P(A \cup B) = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

4. 常见陷阱

错误做法:

应用加法法则时忘记减去 $P (A \cap B)$

原因:

这会对重叠区域重复计数，导致得到的概率过高，有时甚至会大于1，这是不可能的

正确做法:

始终包含 $- P (A \cap B)$ 这一项，除非你已经确认事件是互斥的

错误做法:

默认假设所有事件都是互斥的

原因:

大多数复合事件都有重叠结果，因此默认简化加法法则会导致错误结果

正确做法:

在假设事件互斥前，始终先明确检查是否存在共同结果

错误做法:

混淆交集（ $A \cap B$ ）和并集（ $A \cup B$ ）的符号

原因:

混淆二者会完全改变题目要求，即使计算正确也会得到错误答案

正确做法:

记住：交集就是'和'（两个事件都发生，符号看起来像字母n）

错误做法:

检查总概率时忘记包含两个事件之外的结果

原因:

遗漏韦恩图的外部区域会导致计数和概率错误

正确做法:

在计算最终答案前，始终确认韦恩图中所有概率之和等于1

5. 速查表

概念	符号	公式/法则
$A$ 的补集	$A^{'}$	$P (A^{'}) = 1 - P (A)$
交集（ $A$ 且 $B$ ）	$A \cap B$	$P (A \cap B)$ = 两个事件都发生的概率
并集（ $A$ 或 $B$ ，至少一个发生）	$A \cup B$	$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
互斥事件	$A \cap B = \emptyset$	$P (A \cap B) = 0$ , $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$
古典概率	$P (A)$	$P (A) = \frac{n ( A )}{n ( S )}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · 1
复合事件概率计算
2023 · 2
韦恩图概率问题

下一步

掌握基础概率概念和复合事件是IB AI SL所有后续概率主题的基础。你遇到的每一道概率题都会建立在你在这里学到的符号、法则和韦恩图技巧之上。接下来，你会将这些概念拓展到条件概率（处理事件的额外已知信息），然后用这些技巧构建顺序事件的树状图，最后学习随机变量的概率分布。熟练掌握本子主题会让你未来所有概率学习都轻松很多。