三维立体的体积与表面积

IB 数学：应用与解释 SL· 第三单元：几何与三角· 5 分钟阅读

1. 常见三维立体的公式★☆☆☆☆⏱ 15 min

IB AI SL要求你掌握六种常见三维立体的体积和表面积公式。部分公式会在公式手册中提供，但记住常用公式能为你在考试中节省宝贵时间。

📘 定义

体积

V

三维立体占据的空间总量，测量单位为立方单位（ $cm^{3}$ , $m^{3}$ 等）

例:

边长1 cm的正方体体积为1 $cm^{3}$

📘 定义

总表面积

SA

三维立体所有外表面的总面积，测量单位为平方单位

例:

边长1 cm的正方体总表面积为6 $cm^{2}$

立体	体积公式	总表面积公式
正方体（边长 $a$ ）	$a^{3}$	$6 a^{2}$
长方体（ $l \times w \times h$ ）	$l w h$	$2 (l w + l h + w h)$
棱柱（ $A$ = 横截面积， $l$ = 长度）	$A l$	$2 A + P l$ ( $P$ = 横截面周长)
棱锥（ $A$ = 底面积， $h$ = 高）	$\frac{1}{3} A h$	底面积 + 侧面积之和
圆锥（ $r$ = 半径， $s$ = 斜高）	$\frac{1}{3} π r^{2} h$	$π r^{2} + π r s$
球体（ $r$ = 半径）	$\frac{4}{3} π r^{3}$	$4 π r^{2}$

📐 例题

计算底面半径为3 cm、垂直高为4 cm的直圆锥的体积和总表面积，答案保留3位有效数字。

1
首先用勾股定理计算圆锥的斜高 $s$ ：
$s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$
2
使用圆锥体积公式计算体积：
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (3)^2 (4) = 12\pi \approx 37.7 \text{ cm}^3$
3
使用圆锥总表面积公式计算总表面积：
$SA = \pi r^2 + \pi r s = \pi (3)^2 + \pi (3)(5) = 24\pi \approx 75.4 \text{ cm}^2$
4
最终答案（3位有效数字）：体积 = 37.7 cm³，总表面积 = 75.4 cm²

2. 求解未知维度★★☆☆☆⏱ 15 min

常见的考试题型会给出立体的体积或表面积，要求你求出未知维度（半径、高、边长等）。这需要重排公式，分离出未知变量。

📐 例题

已知球体的总体积为100 cm³，计算球体的半径，答案保留2位小数。

1
从标准球体体积公式出发：
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$
2
代入 $V = 100$ 并重排公式分离出 $r^{3}$ ：
$100 = \frac{4}{3}\pi r^3 \\ r^3 = \frac{100 \times 3}{4\pi} = \frac{75}{\pi} \approx 23.873$
3
两边同时开立方，求解 $r$ ：
$r = \sqrt[3]{23.873} \approx 2.88 \text{ cm}$

✓ 快速检测

检验你的理解：

一个正方体的总表面积为150 cm²，它的边长是多少？
- 5 cm
- 12.5 cm
- 25 cm
- 150/6 = 25 cm
显示答案
5 cm —
正方体总表面积 = $6 a^{2}$ ，因此 $6 a^{2} = 150 \to a^{2} = 25 \to a = 5$ cm

3. 组合立体的体积与表面积★★★☆☆⏱ 20 min

本知识点大多数拓展回答考题都涉及组合立体，即由两个或多个简单立体拼接而成的立体。计算这类形状的总体积和总表面积有一个关键区别。

📐 例题

一个雕塑由半径10 cm的半球（半个球体）固定在半径10 cm、高20 cm的圆柱体顶部构成。计算雕塑的总体积，保留3位有效数字。

1
将圆柱体体积与半球体积相加：
$V_{\text{cylinder}} = \pi r^2 h = \pi (10)^2 (20) = 2000\pi \\ V_{\text{hemisphere}} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2000}{3}\pi$
2
计算总体积：
$V_{\text{total}} = 2000\pi + \frac{2000}{3}\pi = \frac{8000}{3}\pi \approx 8380 \text{ cm}^3$

4. 体积与面积的单位换算★★☆☆☆⏱ 10 min

单位换算是本知识点的常见考点，因为这是考生容易出错的地方。记住：面积是平方单位，体积是立方单位，换算系数必须匹配单位维度。

📐 例题

将 2.5 m³ 的体积换算为 cm³。

1
从长度换算出发，再对换算系数进行立方得到体积换算系数：
$1 \text{ m} = 100 \text{ cm} \\ 1 \text{ m}^3 = (100 \text{ cm})^3 = 1 000 000 \text{ cm}^3$
2
乘以 2.5 得到最终换算后的体积：
$2.5 \times 1 000 000 = 2 500 000 \text{ cm}^3$

5. 常见陷阱

错误做法:

计算组合立体表面积时忘记减去重叠区域面积

原因:

拼接立体之间的重叠面在内部，不属于外表面

正确做法:

从各单个立体表面积总和中减去两倍重叠面的面积

错误做法:

面积/体积使用和长度相同的换算系数

原因:

面积是长度的平方，体积是长度的立方，因此换算系数也必须对应平方/立方

正确做法:

长度换算系数平方用于面积，立方用于体积

错误做法:

棱锥和圆锥体积公式中忘记 $\frac{1}{3}$ 因子

原因:

棱柱和棱锥公式相似，但棱锥的1/3因子经常被遗漏

正确做法:

记住所有顶点型立体（棱锥、圆锥）的体积都带有1/3因子

错误做法:

计算圆锥表面积时使用垂直高而非斜高

原因:

圆锥侧表面积是沿倾斜边计算的，不是垂直高

正确做法:

代入表面积公式前，先用勾股定理计算出斜高

错误做法:

题目要求侧表面积时却计算总表面积

原因:

考生经常赶时间，漏看题目中的关键词'侧'

正确做法:

仔细阅读题目，确认题目要求的是总表面积还是侧表面积

6. 速查表

立体	体积	总表面积
正方体 (边长 $a$ )	$a^{3}$	$6 a^{2}$
长方体 ( $l, w, h$ )	$l w h$	$2 (l w + l h + w h)$
棱柱 ( $A, l$ )	$A l$	$2 A + P l$
棱锥 ( $A, h$ )	$\frac{1}{3} A h$	底面积 + 侧面积
圆锥 ( $r, s$ )	$\frac{1}{3} π r^{2} h$	$π r^{2} + π r s$
球体 ( $r$ )	$\frac{4}{3} π r^{3}$	$4 π r^{2}$
单位换算	长度系数立方	长度系数平方

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
圆锥与圆柱组合体的体积
2023 · 2
已知体积求球体的表面积

下一步

掌握三维立体的体积与表面积计算是IB AI SL所有几何知识点的基础技能。你会在解决密度、相似三维立体、三维坐标几何等问题时用到这些核心技能，这些知识点在试卷1和试卷2中都经常出现。在试卷2的拓展情境题中，这些技能也经常和其他知识点结合考查，因此在这里练好准确率能帮你在考试中轻松拿到分数。