非直角三角形的面积公式

IB 数学：应用与解释 SL· 3.6 Geometry and trigonometry· 12 分钟阅读

1. $\frac{1}{2}ab \sin C$ 面积公式★★☆☆☆⏱ 4 min

标准面积公式 $\frac{1}{2} \times 底 \times 高$ 需要知道垂直高，这在非直角三角形中通常是未知的。如果你已知两条边以及它们之间的夹角，则可以改用这个推导得到的公式。

📘 定义

三角形面积（两边+夹角）

For sides $a, b$ with included angle $C$

$Area = \frac{1}{2} ab sin C$

例:

$a = 3, b = 4, C = 3 0^{\circ}$ , Area = $\frac{1}{2} (3) (4) sin 3 0^{\circ} = 3$

🔬 推导

目标:

从底高公式推导 $\frac{1}{2} ab sin C$

起点:

三角形 $A B C$ ，边 $a$ 是 $A$ 的对边，边 $b$ 是 $B$ 的对边，角 $C$ 在边 $a$ 和边 $b$ 之间

1
从顶点 $A$ 向包含边 $a$ 的直线作垂直高 $h$
2
根据直角三角形三角学， $h = b sin C$
3
代入底高公式，其中底长为 $a$ ：
4
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{1}{2}a(b \sin C) = \frac{1}{2}ab \sin C$

结果:

该公式对所有三角形都成立，包括钝角三角形，因为 $sin (18 0^{\circ} - θ) = sin θ$ 。

📐 例题

求边长为5 cm和7 cm，夹角为55°的三角形的面积。结果保留3位有效数字。

1
我们已知两边及其夹角，因此直接使用 $\frac{1}{2} ab sin C$ ：
2
$a = 5, \ b = 7, \ C = 55^\circ$
3
将数值代入公式：
4
$\text{Area} = \frac{1}{2}(5)(7)\sin(55^\circ) = 17.5 \times 0.81915...$
5
计算并四舍五入保留3位有效数字：
6
$\text{Area} \approx 14.3 \text{ cm}^2$

Exam tip:

这个公式没有印在IB AI SL公式手册中，因此你必须记住它。

2. 海伦公式（已知三边求面积）★★★☆☆⏱ 5 min

当你已知非直角三角形的三条边长但不知道任何角度时，海伦公式可以让你直接计算面积，无需先用余弦定理求出角度。

📘 定义

海伦公式

Side lengths $a, b, c$ , semi-perimeter $s = \frac{a + b + c}{2}$

$Area = s (s - a) (s - b) (s - c)$

📐 例题

求边长为4 m、6 m和8 m的三角形的面积，结果保留2位小数。

1
首先计算半周长 $s$ ：
2
$s = \frac{4 + 6 + 8}{2} = 9$
3
代入海伦公式：
4
$\text{Area} = \sqrt{9(9-4)(9-6)(9-8)} = \sqrt{9 \times 5 \times 3 \times 1} = \sqrt{135}$
5
计算并四舍五入：
6
$\text{Area} \approx 11.62 \text{ m}^2$

3. 求解面积应用问题★★★☆☆⏱ 3 min

IB考试中该主题的大多数题目都是应用题，通常涉及土地测量、导航或不规则图形面积。你通常需要先用正弦定理或余弦定理求出缺失的边/角，再计算面积。

📐 例题

一个三角形停车场的边长为40 m、50 m和65 m。求停车场的面积，结果保留3位有效数字。

1
我们已知三条边，因此海伦公式是最高效的方法。
2
计算半周长：
3
$s = \frac{40 + 50 + 65}{2} = 77.5$
4
代入海伦公式：
5
$\text{Area} = \sqrt{77.5(77.5-40)(77.5-50)(77.5-65)} = \sqrt{77.5 \times 37.5 \times 27.5 \times 12.5} = \sqrt{998574.21875}$
6
四舍五入保留3位有效数字：
7
$\text{Area} \approx 1000 \text{ m}^2 = 1.00 \times 10^3 \text{ m}^2$

✓ 快速检测

检查你是否能选择正确的公式：

你已知三角形的三条边，你应该使用哪个公式？
- $\frac{1}{2} ab sin C$
- Heron's formula
- Either works equally well
显示答案
1 —
正确！海伦公式可以让你直接根据三条边计算面积。
你已知两条边和一个非夹角，你首先需要做什么？
- Use $\frac{1}{2} ab sin C$ directly
- Find the included angle with sine rule first
- Use Heron's formula directly
显示答案
1 —
正确！ $\frac{1}{2} ab sin C$ 要求角度是两条边之间的夹角，因此需要先求出夹角。

4. 常见陷阱

错误做法:

对非夹角而不是夹角使用 $\frac{1}{2} ab sin C$

原因:

该公式仅针对两条已知边之间的夹角推导得出，因此使用非夹角会得到错误结果

正确做法:

如果你只知道两条边和一个非夹角，先使用正弦定理和三角形内角和求出夹角，再应用面积公式

错误做法:

在海伦公式中使用总周长而不是半周长

原因:

海伦公式的定义使用半周长（总周长的一半），因此使用总周长会得到偏差很大的结果

正确做法:

始终先计算 $s = \frac{a + b + c}{2}$ ，并检查 $s$ 大于任意一条单独的边长

错误做法:

计算角 $C$ 时，计算器使用弧度模式而不是角度模式

原因:

IB AI SL考试题目中的角度几乎都是角度制，因此弧度模式会得到错误的正弦值

正确做法:

开始任何三角学计算前，始终确认你的计算器设置为角度模式

错误做法:

计算面积时对中间值进行四舍五入

原因:

过早四舍五入会引入误差，导致最终答案不符合要求的有效数字位数

正确做法:

中间步骤在计算器中保留完整的未舍入值，仅对最终答案进行四舍五入

5. 速查表

场景	公式	注意事项
两边+夹角	$\frac{1}{2} ab sin C$	IB AI SL考试必须记忆
已知全部三条边	$s (s - a) (s - b) (s - c), s = \frac{a + b + c}{2}$	公式手册中提供
已知底+垂直高	$\frac{1}{2} \times base \times height$	对任意三角形都成立
两个角度+一条边	Find missing side with sine rule first, then use either formula	Always confirm you have the required inputs for your chosen formula

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
计算不等边三角形的面积
2023 · 2
土地测量面积问题

下一步

计算非直角三角形面积是IB AI SL中许多更高阶主题的基础技能。你会使用该技能，通过将不规则多边形拆分为三角形来求其面积，求解测量和导航中的应用问题，以及处理需要求三角形截面或面面积的三维三角学问题。掌握该主题还能帮助你根据不同的已知信息识别应使用的公式，这是试卷2考试题目中的一项关键技能。