正弦函数：振幅、周期、平移

IB 数学：应用与解释 SL· 5 分钟阅读

1. 一般形式、振幅与竖直平移★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

正弦函数的一般形式

f(x) = A\sin(B(x - D)) + C \quad \text{or} \quad f(x) = A\cos(B(x - D)) + C

原正弦或余弦函数经过变换后的形式，其中每个常数控制基础图像的一种特定变换。

参数 $A$ 控制波形的振幅（竖直拉伸）和任何竖直反射。参数 $C$ 控制竖直平移，将波形的中线设定在 $y = C$ 处。振幅始终为正，等于 $∣ A ∣$ 。

📐 例题

对于函数 $y = - 3 sin (x) + 4$ ，求振幅和中线。

1
将给定函数与一般形式对比，识别参数：
2
$A = -3, \quad C = 4$
3
振幅是 $A$ 的绝对值，因为它表示距离：
4
$\text{Amplitude} = |A| = |-3| = 3$
5
函数的中线由 $y = C$ 给出：
6
$\text{Midline}: y = 4$

2. 周期与水平拉伸★★★☆☆⏱ 15 min

参数 $B$ 控制原波形的水平拉伸或压缩，从而改变周期长度。当 $B = 1$ 时，原函数 $sin (x)$ 和 $cos (x)$ 的周期为 $2 π$ 。

📘 定义

正弦函数的周期

一个完整重复周期的水平长度，可由参数 $B$ 按以下公式计算：

例:

\text{Period} = \frac{2\pi}{|B|}

📐 例题

计算函数 $y = cos (4 x) - 1$ 的周期。

1
从函数中识别出 $B = 4$
2
代入周期公式：
3
$\text{Period} = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$
4
$B$ 越大，周期越短，这与我们的计算结果一致。

✓ 快速检测

检测你的理解：

$y = sin (\frac{1}{3} x)$ 的周期是多少？
- $\frac{2 π}{3}$
- $3 π$
- $6 π$
- $\frac{π}{3}$
显示答案
6\pi —
记住公式： $Period = \frac{2 π}{B}$ 。当 $B = 1/3$ 时，计算得 $2 π \div (1/3) = 6 π$ 。

3. 水平平移（相位偏移）★★★☆☆⏱ 20 min

参数 $D$ 控制图像的水平偏移。正 $D$ 将图像向右平移 $D$ 个单位，负 $D$ 将图像向左平移 $D$ 个单位。你必须先将 $B$ 从 $x$ 项中提取出来，才能得到正确的 $D$ 值。

📐 例题

求 $y = sin (2 x - π)$ 的水平平移量。

1
首先，将 $B = 2$ 从正弦函数的自变量中提取出来，以匹配一般形式：
2
$y = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)$
3
从因式分解形式中，我们得到 $D = \frac{π}{2}$ 。
4
这意味着原图像 $y = sin (2 x)$ 向右平移了 $\frac{π}{2}$ 个单位。

4. 根据图像写方程★★★★☆⏱ 20 min

IB考试中常见的考题要求你根据正弦函数的图像写出方程，遵循以下可靠的步骤顺序即可找到所有参数：

求 $C$ （中线）：计算最大值和最小值 $y$ 的平均值
求 $A$ （振幅）：用最大 $y$ 值减去中线值
求周期：测量两个相邻峰值之间的距离，然后计算 $B = 2 π / 周期$
求 $D$ （水平偏移）：将关键点的位置与原函数对比

📐 例题

一个正弦函数图像在 $(0, 7)$ 处取得最大值，下一个最大值在 $(10, 7)$ ，最小值为 $1$ 。写出该图像对应的余弦函数。

1
1. 计算 $C$ （中线）：
2
$C = \frac{\text{max} + \text{min}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4$
3
1. 计算 $A$ （振幅）：
4
$A = \text{max} - C = 7 - 4 = 3$
5
1. 计算周期和 $B$ ：两个最大值之间的距离为 $10 - 0 = 10$ ，因此周期 $= 10$ ：
6
$B = \frac{2\pi}{\text{period}} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}$
7
1. 计算 $D$ ：原余弦函数在 $x = 0$ 处取得最大值，因此该图像没有水平偏移： $D = 0$
8
最终方程：
9
$y = 3\cos\left(\frac{\pi}{5}x\right) + 4$

5. 常见陷阱

错误做法:

读取水平偏移 $D$ 前忘记提取 $B$

原因:

一般形式为 $B (x - D)$ ，因此只有提取后得到的 $D$ 才是正确的，未提取的自变量得到的结果不对

正确做法:

识别 $D$ 前，一定要先将 $x$ 的系数从正弦/余弦的自变量中提取出来

错误做法:

直接将 $B$ 当作周期，而非计算 $2 π / B$

原因:

学生混淆了 $B$ 和周期之间的反比关系

正确做法:

记住： $周期 = 2 π /∣ B ∣$ ， $B$ 越大，周期越短

错误做法:

忽略竖直平移，直接将最大值当作振幅

原因:

振幅是从中线开始测量的，不是从x轴开始

正确做法:

振幅是最大值和最小值之间距离的一半，始终等于 $∣ A ∣$ ，与 $C$ 无关

错误做法:

颠倒水平平移的方向：认为正 $D$ 是向左平移

原因:

记号 $f (x - D)$ 对很多学生来说不符合直觉

正确做法:

记住： $f (x - D)$ 向右平移 $D$ 个单位， $f (x + D) = f (x - (- D))$ 向左平移 $D$ 个单位

错误做法:

当 $A$ 为负时，输出负的振幅

原因:

负 $A$ 表示关于中线的反射，但振幅是距离，因此始终为正

正确做法:

考试题目中要求振幅时，始终取 $A$ 的绝对值

6. 速查表

参数	控制的内容	从图像计算的方法
$A$	振幅（竖直拉伸）	$A = max y - C = ∣ A ∣ > 0$
$B$	周期缩放	$B = 2 π / 周期$
$C$	中线（竖直平移）	$C = (max y + min y) /2$
$D$	水平偏移（相位偏移）	提取 $B$ ：正 $D$ 右移，负 $D$ 左移

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · Paper 1
求函数的振幅和周期
2023 · Paper 2
根据正弦函数图像写出方程

下一步

掌握正弦函数的振幅、周期和平移是IB AI SL中所有周期模型相关内容的关键基础。本小节在每次考试中都会出现，既会出现在允许计算器的试卷也会出现在不允许计算器的试卷中，因此熟练掌握这些参数是取得高分的必要条件。接下来你会将这些技能应用于建模真实世界的周期现象，比如季节温度、潮汐高度、振荡运动，然后求解情境中涉及正弦函数的问题。