# 正弦函数：振幅、周期、平移

> IB 数学：应用与解释 SL · IB MATH AI SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-sinusoidal-functions-amplitude-period-translation/

本小节讲解振幅、周期以及水平/竖直变换如何改变正弦和余弦函数的图像与方程，你将学习如何在考题中建立参数与图像特征的联系。

**先修:** [基础正弦与余弦函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-basic-trigonometric-functions/)

## 学习目标

- 从图像和方程中识别正弦函数的振幅、周期和平移
- 已知变换后正弦函数的关键特征，写出其方程
- 将一般形式中的每个参数与其图像意义对应起来

## 一般形式、振幅与竖直平移

**正弦函数的一般形式** — 原正弦或余弦函数经过变换后的形式，其中每个常数控制基础图像的一种特定变换。

*记法:* f(x) = A\sin(B(x - D)) + C \quad \text{or} \quad f(x) = A\cos(B(x - D)) + C

参数$A$控制波形的振幅（竖直拉伸）和任何竖直反射。参数$C$控制竖直平移，将波形的中线设定在$y=C$处。振幅始终为正，等于$|A|$。

**例题:** 对于函数$y = -3\sin(x) + 4$，求振幅和中线。

1. 将给定函数与一般形式对比，识别参数：
2. $$A = -3, \quad C = 4$$
3. 振幅是$A$的绝对值，因为它表示距离：
4. $$\text{Amplitude} = |A| = |-3| = 3$$
5. 函数的中线由$y=C$给出：
6. $$\text{Midline}: y = 4$$

> **tip**
>
> 任意正弦函数的最大值为$C + |A|$，最小值为$C - |A|$，这对检查结果很有帮助。

## 周期与水平拉伸

参数$B$控制原波形的水平拉伸或压缩，从而改变周期长度。当$B=1$时，原函数$\sin(x)$和$\cos(x)$的周期为$2\pi$。

**正弦函数的周期** — 一个完整重复周期的水平长度，可由参数$B$按以下公式计算：

*例:* \text{Period} = \frac{2\pi}{|B|}

**例题:** 计算函数$y = \cos(4x) - 1$的周期。

1. 从函数中识别出$B = 4$
2. 代入周期公式：
3. $$\text{Period} = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$
4. $B$越大，周期越短，这与我们的计算结果一致。

**概念自测**

检测你的理解：

1. $y = \sin\left(\frac{1}{3}x\right)$的周期是多少？

   - $\frac{2\pi}{3}$
   - $3\pi$
   - $6\pi$
   - $\frac{\pi}{3}$

   *解析:* 记住公式：$\text{Period} = \frac{2\pi}{B}$。当$B = 1/3$时，计算得$2\pi \div (1/3) = 6\pi$。

## 水平平移（相位偏移）

参数$D$控制图像的水平偏移。正$D$将图像向右平移$D$个单位，负$D$将图像向左平移$D$个单位。**你必须先将$B$从$x$项中提取出来，才能得到正确的$D$值。**

**例题:** 求$y = \sin(2x - \pi)$的水平平移量。

1. 首先，将$B=2$从正弦函数的自变量中提取出来，以匹配一般形式：
2. $$y = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)$$
3. 从因式分解形式中，我们得到$D = \frac{\pi}{2}$。
4. 这意味着原图像$y = \sin(2x)$向右平移了$\frac{\pi}{2}$个单位。

> **warning**
>
> 如果你忘记提取$B$，你会错误地得到$D = \pi$，是实际偏移量的两倍。这是考试中非常常见的错误。

## 根据图像写方程

IB考试中常见的考题要求你根据正弦函数的图像写出方程，遵循以下可靠的步骤顺序即可找到所有参数：

1. 求$C$（中线）：计算最大值和最小值$y$的平均值
2. 求$A$（振幅）：用最大$y$值减去中线值
3. 求周期：测量两个相邻峰值之间的距离，然后计算$B = 2\pi / \text{周期}$
4. 求$D$（水平偏移）：将关键点的位置与原函数对比

**例题:** 一个正弦函数图像在$(0, 7)$处取得最大值，下一个最大值在$(10, 7)$，最小值为$1$。写出该图像对应的余弦函数。

1. 1. 计算$C$（中线）：
2. $$C = \frac{\text{max} + \text{min}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4$$
3. 2. 计算$A$（振幅）：
4. $$A = \text{max} - C = 7 - 4 = 3$$
5. 3. 计算周期和$B$：两个最大值之间的距离为$10-0=10$，因此周期$=10$：
6. $$B = \frac{2\pi}{\text{period}} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}$$
7. 4. 计算$D$：原余弦函数在$x=0$处取得最大值，因此该图像没有水平偏移：$D=0$
8. 最终方程：
9. $$y = 3\cos\left(\frac{\pi}{5}x\right) + 4$$

## 常见错误

- **错误做法:** 读取水平偏移$D$前忘记提取$B$
  - 原因: 一般形式为$B(x-D)$，因此只有提取后得到的$D$才是正确的，未提取的自变量得到的结果不对
  - 正确做法: 识别$D$前，一定要先将$x$的系数从正弦/余弦的自变量中提取出来
- **错误做法:** 直接将$B$当作周期，而非计算$2\pi/B$
  - 原因: 学生混淆了$B$和周期之间的反比关系
  - 正确做法: 记住：$\text{周期} = 2\pi/|B|$，$B$越大，周期越短
- **错误做法:** 忽略竖直平移，直接将最大值当作振幅
  - 原因: 振幅是从中线开始测量的，不是从x轴开始
  - 正确做法: 振幅是最大值和最小值之间距离的一半，始终等于$|A|$，与$C$无关
- **错误做法:** 颠倒水平平移的方向：认为正$D$是向左平移
  - 原因: 记号$f(x-D)$对很多学生来说不符合直觉
  - 正确做法: 记住：$f(x-D)$向右平移$D$个单位，$f(x+D) = f(x - (-D))$向左平移$D$个单位
- **错误做法:** 当$A$为负时，输出负的振幅
  - 原因: 负$A$表示关于中线的反射，但振幅是距离，因此始终为正
  - 正确做法: 考试题目中要求振幅时，始终取$A$的绝对值

## 速查表

| 参数 | 控制的内容 | 从图像计算的方法 |
| --- | --- | --- |
| $A$ | 振幅（竖直拉伸） | $A = \text{max } y - C = \|A\| > 0$ |
| $B$ | 周期缩放 | $B = 2\pi / \text{周期}$ |
| $C$ | 中线（竖直平移） | $C = (\text{max } y + \text{min } y)/2$ |
| $D$ | 水平偏移（相位偏移） | 提取$B$：正$D$右移，负$D$左移 |

## 下一步

掌握正弦函数的振幅、周期和平移是IB AI SL中所有周期模型相关内容的关键基础。本小节在每次考试中都会出现，既会出现在允许计算器的试卷也会出现在不允许计算器的试卷中，因此熟练掌握这些参数是取得高分的必要条件。接下来你会将这些技能应用于建模真实世界的周期现象，比如季节温度、潮汐高度、振荡运动，然后求解情境中涉及正弦函数的问题。

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