非直角三角形的正弦定理、余弦定理

IB 数学 AI SL· 5 分钟阅读

1. 正弦定理★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

正弦定理

For triangle $A B C$ , with side $a$ opposite angle $A$ , $b$ opposite $B$ , $c$ opposite $C$ :

将任意三角形的边与其对角的正弦联系起来，当你已知一组对边对角时，可以用来求未知量。

例:

已知两个角和一条边时，求未知边

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

📐 例题

在三角形 $A B C$ 中， $A = 4 0^{\circ}$ ， $B = 6 0^{\circ}$ ， $a = 8$ cm。求边 $b$ 的长度。

1
写出已知量和未知量对应的正弦定理：
2
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
3
将已知值代入公式：
4
$\frac{8}{\sin 40^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ}$
5
整理公式以分离出 $b$ ：
6
$b = \frac{8 \sin 60^\circ}{\sin 40^\circ}$
7
计算 $b$ 的值，保留3位有效数字：
8
$b \approx \frac{8 \times 0.8660}{0.6428} \approx 10.8 \text{ cm}$

2. 余弦定理★★★☆☆⏱ 20 min

📘 定义

余弦定理

For triangle $A B C$ , with side $a$ opposite angle $A$ :

关联任意三角形的三条边和一个角，适用于所有三角形，无论是直角还是非直角。整理后可以在已知三边时求角。

例:

已知两边和它们的夹角时，求未知边

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

当已知三边求未知角时，整理余弦定理分离出余弦项：

\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

📐 例题

在三角形 $X Y Z$ 中， $X Y = 7$ cm， $X Z = 9$ cm， $X$ 处的角度为 $3 5^{\circ}$ 。求 $Y Z$ 的长度。

1
标记三角形： $Y Z$ 对着角 $X$ ，因此设 $a = Y Z$ ， $b = 9$ ， $c = 7$ ， $A = 3 5^{\circ}$
2
应用余弦定理求边 $a$ ：
3
$a^2 = 9^2 + 7^2 - 2(9)(7) \cos 35^\circ$
4
计算右侧的值：
5
$a^2 = 81 + 49 - 126 \times 0.8192 \approx 26.78$
6
开平方得到 $a$ ，保留2位小数：
7
$a = \sqrt{26.78} \approx 5.17 \text{ cm}$

3. 选择正确的定理★★★☆☆⏱ 20 min

快速选择正确的定理能在考试中节省时间，避免不必要的错误。下表根据你得到的已知信息总结了何时使用每个定理：

已知信息	应使用的定理
两个角 + 一条边 (AAS/ASA)	正弦定理
两条边 + 非夹角 (SSA)	正弦定理（检查歧义情况）
两条边 + 夹角 (SAS)	余弦定理（求边）
三条边 (SSS)	余弦定理（求角）

📐 例题

一个三角形的边长分别为5 cm、7 cm和8 cm。求最大角的大小。

1
最大角对着最长边，因此设 $a = 8$ cm（对着我们要求的角 $A$ ）
2
我们已知三边，因此使用整理后的余弦定理求角：
3
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
4
代入值 $b = 5$ ， $c = 7$ ， $a = 8$ ：
5
$\cos A = \frac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2(5)(7)} = \frac{25 + 49 - 64}{70} = \frac{10}{70} \approx 0.1429$
6
使用反余弦计算角度：
7
$A = \arccos(0.1429) \approx 81.8^\circ$

Exam tip:

开始计算前，一定要画出并标记你的三角形，避免弄混对边和对角。

4. 常见陷阱

错误做法:

忘记检查SSA正弦定理问题的歧义情况

原因:

0°到180°之间的两个角可以有相同的正弦值，因此会得到两个有效的三角形

正确做法:

计算第二个可能的角度为 $18 0^{\circ} - 计算得到的角度$ ，检查角度和是否小于180°，如果有效则保留两个解

错误做法:

应用定理时弄混对边和对角

原因:

正弦定理和余弦定理始终将边与其对角配对，交换会得到错误结果

正确做法:

代入数值到公式前，清晰标记三角形，让边 $a$ 对着角 $A$

错误做法:

在非直角三角形中使用勾股定理

原因:

勾股定理仅适用于直角三角形，在非直角三角形中总会得到错误结果

正确做法:

对于任何未确认是直角三角形的三角形，始终使用正弦定理或余弦定理

错误做法:

已知三边（SSS）求角时使用正弦定理

原因:

正弦定理需要已知一组对边对角，当所有角都未知时你没有这个条件

正确做法:

使用整理后的余弦定理求第一个角（通常是最长边对的最大角）

5. 速查表

已知信息/定理	公式/注意事项
AAS/ASA（2角+1边）	正弦定理
SSA（2边+非夹角）	正弦定理，检查歧义情况
SAS（2边+夹角）	余弦定理（求边）
SSS（3边）	余弦定理（求角）
正弦定理	$\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$
余弦定理（求边）	$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
余弦定理（求角）	$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
求非直角三角形中的未知边
2023 · 2
已知三边计算未知角

深入阅读

Formula sheetIB AI SL 公式手册三角学部分正弦定理和余弦定理已在此提供

下一步

现在你已经可以对非直角三角形应用正弦定理和余弦定理，你已经掌握了IB AI SL中解决大多数三角形问题的基础技能。这些定理经常用于方位角、导航、面积计算和实际建模问题，这些问题在试卷1和试卷2中都会出现。快速正确选择定理对于拿高分至关重要，因为这类问题通常考察你识别使用哪个工具的能力。接下来，你将拓展这些技能来求非直角三角形的面积，然后应用所有三角形概念解决实际方位角问题。