# 非直角三角形的正弦定理、余弦定理

> IB 数学 AI SL · 第三单元：几何与三角学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-sine-rule-cosine-rule-for/

本主题讲解如何使用正弦定理和余弦定理求解非直角三角形中未知的边和角。你将学习何时使用哪个定理来解决IB考试中频繁出现的常见三角形问题。

**先修:** [直角三角形三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-right-angled-triangle-trig/); [三角形角度基本性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-triangle-properties/)

## 学习目标

- 应用正弦定理求非直角三角形中未知的边和角
- 应用余弦定理求非直角三角形中未知的边和角
- 根据已知三角形信息判断应使用哪一个定理
- 识别并处理正弦定理的歧义情况

## 正弦定理

**正弦定理** — 将任意三角形的边与其对角的正弦联系起来，当你已知一组对边对角时，可以用来求未知量。

*记法:* For triangle $ABC$, with side $a$ opposite angle $A$, $b$ opposite $B$, $c$ opposite $C$:

*例:* 已知两个角和一条边时，求未知边

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

> **info**
>
> 当已知两边和一个非夹角（SSA）时，你必须检查歧义情况：可能存在两个有效的三角形。

**例题:** 在三角形$ABC$中，$A = 40^\circ$，$B = 60^\circ$，$a = 8$ cm。求边$b$的长度。

1. 写出已知量和未知量对应的正弦定理：
2. $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$
3. 将已知值代入公式：
4. $$\frac{8}{\sin 40^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ}$$
5. 整理公式以分离出$b$：
6. $$b = \frac{8 \sin 60^\circ}{\sin 40^\circ}$$
7. 计算$b$的值，保留3位有效数字：
8. $$b \approx \frac{8 \times 0.8660}{0.6428} \approx 10.8 \text{ cm}$$

## 余弦定理

**余弦定理** — 关联任意三角形的三条边和一个角，适用于所有三角形，无论是直角还是非直角。整理后可以在已知三边时求角。

*记法:* For triangle $ABC$, with side $a$ opposite angle $A$:

*例:* 已知两边和它们的夹角时，求未知边

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$

当已知三边求未知角时，整理余弦定理分离出余弦项：

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

**例题:** 在三角形$XYZ$中，$XY = 7$ cm，$XZ = 9$ cm，$X$处的角度为$35^\circ$。求$YZ$的长度。

1. 标记三角形：$YZ$对着角$X$，因此设$a = YZ$，$b = 9$，$c = 7$，$A = 35^\circ$
2. 应用余弦定理求边$a$：
3. $$a^2 = 9^2 + 7^2 - 2(9)(7) \cos 35^\circ$$
4. 计算右侧的值：
5. $$a^2 = 81 + 49 - 126 \times 0.8192 \approx 26.78$$
6. 开平方得到$a$，保留2位小数：
7. $$a = \sqrt{26.78} \approx 5.17 \text{ cm}$$

## 选择正确的定理

快速选择正确的定理能在考试中节省时间，避免不必要的错误。下表根据你得到的已知信息总结了何时使用每个定理：

| 已知信息 | 应使用的定理 |
| --- | --- |
| 两个角 + 一条边 (AAS/ASA) | 正弦定理 |
| 两条边 + 非夹角 (SSA) | 正弦定理（检查歧义情况） |
| 两条边 + 夹角 (SAS) | 余弦定理（求边） |
| 三条边 (SSS) | 余弦定理（求角） |

**例题:** 一个三角形的边长分别为5 cm、7 cm和8 cm。求最大角的大小。

1. 最大角对着最长边，因此设$a = 8$ cm（对着我们要求的角$A$）
2. 我们已知三边，因此使用整理后的余弦定理求角：
3. $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$
4. 代入值$b = 5$，$c = 7$，$a = 8$：
5. $$\cos A = \frac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2(5)(7)} = \frac{25 + 49 - 64}{70} = \frac{10}{70} \approx 0.1429$$
6. 使用反余弦计算角度：
7. $$A = \arccos(0.1429) \approx 81.8^\circ$$

> **考试提示:** 开始计算前，一定要画出并标记你的三角形，避免弄混对边和对角。

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记检查SSA正弦定理问题的歧义情况
  - 原因: 0°到180°之间的两个角可以有相同的正弦值，因此会得到两个有效的三角形
  - 正确做法: 计算第二个可能的角度为 $180^\circ - \text{计算得到的角度}$，检查角度和是否小于180°，如果有效则保留两个解
- **错误做法:** 应用定理时弄混对边和对角
  - 原因: 正弦定理和余弦定理始终将边与其对角配对，交换会得到错误结果
  - 正确做法: 代入数值到公式前，清晰标记三角形，让边 $a$ 对着角 $A$
- **错误做法:** 在非直角三角形中使用勾股定理
  - 原因: 勾股定理仅适用于直角三角形，在非直角三角形中总会得到错误结果
  - 正确做法: 对于任何未确认是直角三角形的三角形，始终使用正弦定理或余弦定理
- **错误做法:** 已知三边（SSS）求角时使用正弦定理
  - 原因: 正弦定理需要已知一组对边对角，当所有角都未知时你没有这个条件
  - 正确做法: 使用整理后的余弦定理求第一个角（通常是最长边对的最大角）

## 速查表

| 已知信息/定理 | 公式/注意事项 |
| --- | --- |
| AAS/ASA（2角+1边） | 正弦定理 |
| SSA（2边+非夹角） | 正弦定理，检查歧义情况 |
| SAS（2边+夹角） | 余弦定理（求边） |
| SSS（3边） | 余弦定理（求角） |
| 正弦定理 | $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ |
| 余弦定理（求边） | $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ |
| 余弦定理（求角） | $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ |

## 下一步

现在你已经可以对非直角三角形应用正弦定理和余弦定理，你已经掌握了IB AI SL中解决大多数三角形问题的基础技能。这些定理经常用于方位角、导航、面积计算和实际建模问题，这些问题在试卷1和试卷2中都会出现。快速正确选择定理对于拿高分至关重要，因为这类问题通常考察你识别使用哪个工具的能力。接下来，你将拓展这些技能来求非直角三角形的面积，然后应用所有三角形概念解决实际方位角问题。

- [方位角与三角应用](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-bearings-and-trigonometric-applications/)
- [正弦函数：振幅、周期、平移](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-sinusoidal-functions-amplitude-period-translation/)
- [Voronoi图和最近站点问题](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-voronoi-diagrams-and-closest-site/)

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