# 几何与三角学

> IB 数学：应用与解释 SL · IB AI SL 第三单元
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-overview/
> 占比: 占IB AI SL 考试总分的12-14%

本单元涵盖用于三维测量、三角形问题求解、周期性建模和空间分析的实用几何与三角工具，所有内容在IB AI SL的两份试卷中都被大量考察。

**先修:** 基础代数和函数符号; 三角形和直线的基本角度性质

## 学习目标

- 在实际问题中计算常见三维立体和组合立体的体积与表面积
- 将三角法则应用于直角和非直角三角形，解决测量和导航问题
- 使用变换后的正弦函数对周期性现实现象（潮汐、温度、运动）建模
- 构建并使用沃罗诺伊图解决实际的最近站点空间问题

## 单元概览

本单元从基础二维和三维测量开始，逐步进阶到应用三角学以及两个AI SL特有的核心主题：正弦建模和沃罗诺伊图。技能循序渐进，早期的三角概念会在后续的应用和建模工作中重复使用。

本单元约一半的考试分数来自应用题，因此我们在所有子主题中都侧重于将公式与现实背景联系起来，这符合AI SL的评估重点。

本单元所有子主题，按顺序学习排列：
- [三维立体的体积与表面积](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u3-volume-and-surface-area-of/) — 计算常见三维立体和组合立体的体积与表面积。
- [直角三角形三角学](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u3-right-angled-triangle-trigonometry/) — 使用SOHCAHTOA和毕达哥拉斯定理求解未知边和角。
- [弧长与扇形面积](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u3-arc-length-and-sector-area/) — 在角度制下求圆的弧长 (arc length) 和扇形 (sector) 面积。
- [非直角三角形的正弦定理、余弦定理](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u3-sine-rule-cosine-rule-for/) — 应用正弦定理和余弦定理求任意三角形中的未知边和角。
- [方位角与三角学应用](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u3-bearings-and-trigonometric-applications/) — 使用方位角和组合三角法则解决现实导航问题。
- [正弦函数：振幅、周期、平移](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u3-sinusoidal-functions-amplitude-period-translation/) — 使用变换后的正弦和余弦函数对周期性现象建模。
- [沃罗诺伊图与最近站点问题](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u3-voronoi-diagrams-and-closest-site/) — 构建并解释用于最近设施空间问题的沃罗诺伊图。
- [非直角三角形的面积公式](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u3-triangle-area-formula-for-non/) — 使用$\frac{1}{2}ab \\sin C$公式计算任意三角形的面积。

## 常见错误

- **错误做法:** 应用三角法则前忘记将方位角转换为三角形的内角
  - 原因: 方位角是从正北顺时针测量的，因此不能直接得到所需的三角形内角
  - 正确做法: 在每个顶点画出正北方向线，利用平行线/角度和法则求出内角
- **错误做法:** 混淆正弦函数$y = \sin(kx)$的周期公式
  - 原因: 许多学生错误地使用$period = k/2\pi$，而非正确的关系
  - 正确做法: 记住标准变换形式的正弦曲线满足$period = 2\pi/|k|$
- **错误做法:** 计算组合三维立体的表面积时重复计算重叠面
  - 原因: 当两个立体拼接在一起时，重叠面不再位于表面上
  - 正确做法: 从各个立体表面积之和中减去两倍重叠面的面积

## 速查表

| 概念 | 核心公式 / 法则 |
| --- | --- |
| 球体体积 | $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ |
| 球体表面积 | $SA = 4\pi r^2$ |
| 正弦定理 | $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ |
| 余弦定理（求边$a$） | $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ |
| 任意三角形面积 | $Area = \frac{1}{2}ab \sin C$ |
| $y = \sin(kx)$的周期 | $Period = \frac{2\pi}{\|k\|}$ |
| 沃罗诺伊边性质 | 边上所有点到两个相邻站点的距离相等 |

## 下一步

从下方本单元第一个子主题开始学习，构建你的三维测量基础技能，然后按顺序学习每个子主题，逐步进阶到更复杂的应用和建模。完成本单元所有子主题后，你可以进入下一单元：统计与概率的概览。

- [三维立体的体积与表面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-volume-and-surface-area-of/)
- [第四单元：统计与概率概览](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-overview/)
- [直角三角形三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-right-angled-triangle-trigonometry/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-overview/