# 方位角与三角应用

> IB 数学应用与解释 SL · 几何与三角学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-bearings-and-trigonometric-applications/

本子主题涵盖三位方位角表示法、方位角的绘制与解读，以及应用正弦定理和余弦定理解决IB AI SL考试中常见的实际导航问题。

**先修:** [非直角三角形的正弦定理与余弦定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-sine-and-cosine-rules/); [直角三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-right-angled-trigonometry/)

## 学习目标

- 正确解读和绘制三位方位角
- 应用正弦定理和余弦定理解方位角问题
- 解决涉及方位角的实际导航问题
- 根据给定方位角数据计算未知距离和方向

## 三位方位角：定义与表示法

**三位方位角** — 从起点的正北方向顺时针测量的角度，用于描述两点之间的方向。

*记法:* Written as 3 digits e.g. 045°, 180°, 315°

*例:* 北偏东45°方向是045°，而非45°。

方位角始终相对于起点，因此正北线必须绘制在测量点，而非终点。这是考试问题中最常见的错误来源之一。

**例题:** 绘制并标记从点A出发、方位角为125°的方向。

1. 步骤1：过点A画一条竖直线，在顶端标记箭头表示正北方向。
2. 步骤2：用量角器从正北方向开始，顺时针测量125°。
3. 步骤3：从A点沿该角度画一条直线，标记方位角为125°。

> **tip**
>
> 始终用三位数字书写方位角。对于小于100°的角度添加前导零（例如030°而非30°），才能获得表示法的全部分数。

## 直角三角形方位角问题

许多基础方位角问题中，从终点画出水平（东西向）和竖直（南北向）线后会形成直角三角形。你可以使用SOHCAHTOA求终点距离起点向北或向东有多远。

> **mnemonic**
>
> SOH-CAH-TOA：正弦 = 对边/斜边，余弦 = 邻边/斜边，正切 = 对边/邻边

**例题:** 一名徒步者从营地出发沿方位角025°行走8公里。行走结束后，徒步者在营地北边多远？

1. 步骤1：在营地画出正北线，顺时针画出025°方向，标记徒步者位置H，因此CH = 8 km（C = 营地）。
2. 步骤2：我们需要求向北的距离，也就是由正北线、CH和过H的向东直线围成的直角三角形中，与25°角相邻的边。
3. 步骤3：使用余弦求邻边：
4. $$\text{North distance} = CH \times \cos(25^\circ) = 8 \times 0.9063 = 7.25 \text{ km (3 s.f.)}$$

*计算器:* allowed

## 非直角三角形方位角问题

当三个点由两个方位角连接时，得到的三角形通常不是直角三角形。解题的关键步骤是利用所有正北线都平行这一性质计算三角形的内角。

> **tip**
>
> 若已知B相对于A的方位角，要求A相对于B的反向方位角：原方位角小于180°则加180°，原方位角大于180°则减180°。

**例题:** 城镇B距离城镇A 12公里，方位角为070°。城镇C距离B 18公里，方位角为150°。求A到C的距离。

1. 步骤1：在A点和B点分别画出平行的正北线。标记AB = 12 km，BC = 18 km。
2. 步骤2：计算A相对于B的反向方位角：070° + 180° = 250°。
3. 步骤3：求B点的内角：250° - 150° = 100°。
4. 步骤4：我们已知两边及其夹角，因此使用余弦定理：
5. $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(100^\circ)$$
6. $$AC^2 = 12^2 + 18^2 - 2(12)(18)\cos(100^\circ) = 144 + 324 - 432(-0.1736) = 545.1$$
7. 步骤5：开平方： $AC = \sqrt{545.1} \approx 23.3$ km (3 s.f.)

**考试命令词**

- **Find the bearing** — 以000°到359°之间的三位角度给出答案，除非另有说明，否则保留到整数度

- **Calculate the distance** — 按照IB惯例，答案保留三位有效数字

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 测量方位角时，在终点而非起点绘制正北线。
  - 原因: 方位角始终从起点测量，因此这个错误会得到错误角度。
  - 正确做法: 每次测量方位角时，都要在测量点重新绘制正北线。
- **错误做法:** 将45°方位角写为45°而非045°。
  - 原因: IB考试阅卷官要求三位方位角表示法，错误表示法会丢失一分。
  - 正确做法: 对于小于100°的方位角，始终添加前导零以得到三位数字。
- **错误做法:** 从正北方向逆时针测量方位角。
  - 原因: 根据定义，方位角始终从正北顺时针测量。
  - 正确做法: 始终从正北开始顺时针转动测量方位角。
- **错误做法:** 计算内角时忘记正北线是平行的。
  - 原因: 这会导致内角计算错误，进而得到错误的边长或方位角结果。
  - 正确做法: 始终先计算反向方位角，再使用角度加法得到三角形的内角。

## 速查表

| 概念 | 使用场景 | 核心规则 |
| --- | --- | --- |
| 三位方位角 | 所有方向问题 | 3 digits, 000° ≤ θ < 360°, clockwise from north |
| SOHCAHTOA | 直角三角形问题 | $\sin\theta = O/H$, $\cos\theta = A/H$, $\tan\theta = O/A$ |
| 正弦定理 | 2 angles + 1 side, 2 sides + non-included angle | $a/\sin A = b/\sin B = c/\sin C$ |
| 余弦定理 | 2 sides + included angle, 3 sides | $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ |
| 反向方位角 | 求起点相对于终点的方位角 | Add/subtract 180° to original bearing |

## 下一步

现在你已经掌握了方位角及其三角应用，可以继续学习更高级的主题，包括三维三角学，它依赖于你在这里练习的正弦定理和余弦定理技巧。方位角也是IB AI SL中许多实际导航和距离建模问题的基础，在试卷1和试卷2中都经常出现。本主题直接建立在你对非直角三角形三角学的知识之上，是常见的分值5-8分的考试题。掌握它能让你准备好应对需要绘制示意图和提取信息的情境化问题。

- [正弦函数：振幅、周期、平移](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-sinusoidal-functions-amplitude-period-translation/)
- [Voronoi图和最近站点问题](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-voronoi-diagrams-and-closest-site/)
- [非直角三角形的面积公式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-triangle-area-formula-for-non/)

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