弧长与扇形面积

IB 数学：应用与解释 SL· 15 分钟阅读

1. 1. 弧、扇形与「取分数」的思路★☆☆☆☆⏱ 8 min

📘 定义

弧与扇形

弧 (arc) 是圆周上两点之间的一段。扇形 (sector) 是由两条半径及其间的弧所围成的、形如派块的区域。两条半径之间在圆心处的角称为圆心角 (central angle) $θ$ ，以角度制度量。

例:

一张披萨切成 8 等份：每一份都是一个圆心角为 $36 0^{\circ} \div 8 = 4 5^{\circ}$ 的扇形，而一份的弯曲外皮就是一段弧。

关键思路是：扇形不过是整圆的一个分数部分。整圆转过 $36 0^{\circ}$ ，所以圆心角为 $θ$ 的扇形占整圆的 $\frac{θ}{360}$ 。要求弧长，就取整个周长的这同一分数；要求扇形面积，就取整个面积的这同一分数。

2. 2. 弧长★★☆☆☆⏱ 12 min

✓ 计算器

📘 定义

弧长（角度制）

$l = \frac{θ}{360} \times 2 π r$

弧长 $l$ 是整个周长 $2 π r$ 的 $\frac{θ}{360}$ ，其中 $θ$ 是角度制的圆心角， $r$ 是半径。

l = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r

📐 例题

一个圆的半径为 9 cm。求所对圆心角为 $8 0^{\circ}$ 的弧长，结果精确到 2 位小数。

1
第 1 步：写出弧长公式，代入 $θ = 8 0^{\circ}$ 和 $r = 9$ 。
2
$l = \frac{80}{360} \times 2\pi(9)$
3
第 2 步：整圆的分数为 $\frac{80}{360} = \frac{2}{9}$ ，整个周长为 $2 π (9) = 18 π$ 。
4
$l = \frac{2}{9} \times 18\pi = 4\pi$
5
第 3 步：用 GDC 求值： $l = 4 π \approx 12.57$ cm。

Exam tip:

弧长和扇形面积公式都在 IB 公式册里，所以你不必背，但必须会应用，并能在 GDC 上正确输入。

3. 3. 扇形面积★★☆☆☆⏱ 12 min

✓ 计算器

📘 定义

扇形面积（角度制）

$A = \frac{θ}{360} \times π r^{2}$

扇形面积 $A$ 是整圆面积 $π r^{2}$ 的 $\frac{θ}{360}$ ，其中 $θ$ 是角度制的圆心角， $r$ 是半径。

A = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2

📐 例题

一张圆形披萨半径为 15 cm，被切成若干份。其中一份是圆心角为 $4 5^{\circ}$ 的扇形。求这一份的面积，结果精确到 1 位小数。

1
第 1 步：写出扇形面积公式，代入 $θ = 4 5^{\circ}$ 和 $r = 15$ 。
2
$A = \frac{45}{360} \times \pi (15)^2$
3
第 2 步：分数为 $\frac{45}{360} = \frac{1}{8}$ ，整个面积为 $π (15)^{2} = 225 π$ 。
4
$A = \frac{1}{8} \times 225\pi = 28.125\pi$
5
第 3 步：用 GDC 求值： $A \approx 88.4 cm^{2}$ 。

Exam tip:

务必写上正确单位：弧长是长度（cm、m），而扇形面积是面积（cm 的平方、m 的平方）。漏写单位或把单位平方处理错误，都很容易丢分。

4. 4. 反推与综合问题★★★☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

考题常给出弧长或扇形面积，要你求半径或圆心角。把已知值代入公式后变形，或在 GDC 上输入方程解出未知量。许多应用问题还会要求扇形的周长，即弧长加上两条半径。

📐 例题

机场的一部雷达扫描一个半径为 40 km 的扇形区域。一次扫描覆盖 $1400 km^{2}$ 的面积。求雷达扫过的角度（以角度制），结果精确到最接近的整数度。

1
第 1 步：把 $A = 1400$ 和 $r = 40$ 代入扇形面积公式。
2
$1400 = \frac{\theta}{360} \times \pi (40)^2$
3
第 2 步：化简 $π (40)^{2} = 1600 π$ ，方程变为：
4
$1400 = \frac{\theta}{360} \times 1600\pi$
5
第 3 步：变形，使 $θ$ 成为主元。
6
$\theta = \frac{1400 \times 360}{1600\pi}$
7
第 4 步：用 GDC 求值： $θ \approx 10 0^{\circ}$ 。

Exam tip:

求未知的角或半径时，你可以把整个方程输入 GDC 的方程求解器，而不必手动变形，这样能减少代数出错的机会。

5. 常见陷阱

错误做法:

使用弧度制或弧度公式 $l = r θ$ 和 $A = \frac{1}{2} r^{2} θ$

原因:

IB AI SL 只用角度制公式；弧度版本属于 AI HL 课程，若角是角度制，会给出错误答案

正确做法:

始终使用 $l = \frac{θ}{360} \times 2 π r$ 和 $A = \frac{θ}{360} \times π r^{2}$ ，其中 $θ$ 为角度制

错误做法:

把弧长公式和扇形面积公式弄混

原因:

两个公式长得很像，但弧长用的是周长 $2 π r$ ，而扇形面积用的是面积 $π r^{2}$

正确做法:

先问答案应是长度还是面积，再选对应的公式和单位

错误做法:

求扇形周长时忘了加上两条半径

原因:

扇形的周长是弧加上两条直边，而不只是弯曲的弧

正确做法:

用 $P = l + 2 r$ 求扇形的完整周长

错误做法:

在公式中用直径代替半径

原因:

两个公式都是以半径 $r$ 定义的；代入直径会使答案翻倍

正确做法:

若给出的是直径，先取一半得到半径再代入

6. 速查表

概念	法则	记号
整圆的分数	圆心角除以 360	$\frac{θ}{360}$
整个周长	绕整圆一周的长度	$2 π r$
整圆面积	整个圆的面积	$π r^{2}$
弧长	周长的一个分数	$l = \frac{θ}{360} \times 2 π r$
扇形面积	圆面积的一个分数	$A = \frac{θ}{360} \times π r^{2}$
扇形周长	弧加上两条半径	$P = l + 2 r$
求角	变形或用 GDC 求解器	$θ = \frac{360 l}{2 π r}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
已知半径和圆心角，求扇形的周长
2023 · 2
用扇形面积求花圃的建模问题

下一步

弧长与扇形面积直接建立在整圆的周长与面积之上，并出现在 IB AI SL 的众多应用建模题中。接下来，你将用直角和非直角三角学来分析圆内和圆周上的三角形，并在处理圆锥、圆柱等三维形体时再次遇到这些圆的度量——那时曲面会被展开成扇形。牢牢掌握「整圆的分数」这一思路，会让后面所有这些主题都容易许多。