# 函数图像变换

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-transformations-of-function-graphs/

本模块涵盖IB AI SL考试中考察的所有四种核心函数图像变换：平移、反射、垂直伸缩和水平伸缩。你将学习如何把函数的代数变化对应到其图像的几何变化。

**先修:** [基本函数符号和初等函数绘图](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-introduction-to-functions/)

## 学习目标

- 识别函数图像变换的所有核心类型
- 应用变换求出变换后图像的方程
- 将函数的代数变化与图像的几何变化对应起来
- 正确应用组合变换的运算顺序

## 垂直平移与水平平移

**平移** — 将函数图像上所有点按固定距离移动，不改变图像形状和大小的刚性变换。

平移遵循统一规则，取决于常数是加在函数自变量内部还是外部。

- 对于原函数 $y = f(x)$，平移 $a$ 个单位的垂直平移是 $y = f(x) + a$。$a$ 为正时向上平移，$a$ 为负时向下平移。
- 平移 $b$ 个单位的水平平移是 $y = f(x - b)$。$b$ 为正时向右平移，$b$ 为负时向左平移。

> **warning**
>
> 水平平移不符合直觉：$f(x + 3)$ 向左平移3个单位，不是向右。请记住：$f(x - b)$ 中 $b$ 为正时，向x轴正方向平移。

**例题:** 原函数为 $f(x) = x^2$。写出 $f(x)$ 向下平移2个单位、向右平移4个单位后的方程。

1. 从原函数开始：

   $$f(x) = x^2$$
2. 应用向右平移4个单位的水平平移：将 $x$ 替换为 $x - 4$：

   $$y = f(x - 4) = (x - 4)^2$$
3. 应用向下平移2个单位的垂直平移：在函数外部加上-2：

   $$y = (x - 4)^2 - 2$$

> **考试提示:** 始终通过检查一个关键点（例如顶点）来确认平移方向，保证结果正确。

## 沿坐标轴的反射

**反射** — 将图像沿给定直线翻转得到镜像的变换。形状不变，但方向反转。

沿x轴和y轴的反射遵循简单规则，取决于负号的位置。

- 沿x轴反射：$y = -f(x)$：所有y坐标都乘以-1。
- 沿y轴反射：$y = f(-x)$：所有x坐标都乘以-1。

**例题:** 原函数 $f(x) = e^x$ 的y轴截距为 $(0, 1)$。求沿x轴反射后得到的 $y = -f(x)$ 的y轴截距。

1. 应用反射规则：所有y坐标都乘以-1。
2. 原y轴截距是 $(0, 1)$，因此将y坐标乘以-1：

   $$(0, 1 \times -1) = (0, -1)$$

## 垂直伸缩与水平伸缩

**伸缩** — 按比例因子拉伸或压缩图像的非刚性变换，会改变大小但不改变整体形状。

和平移一样，比例因子的位置（函数内部还是外部）决定了伸缩是水平还是垂直方向。

- 比例因子为 $k$ 的垂直伸缩：$y = k f(x)$，所有y坐标乘以 $k$。
- 比例因子为 $\frac{1}{c}$ 的水平伸缩：$y = f(cx)$，所有x坐标乘以 $\frac{1}{c}$。

> **warning**
>
> 水平伸缩也不符合直觉：$f(2x)$ 是将图像水平压缩2倍，不是拉伸。

**例题:** 已知 $f(x) = \sin x$，求经过垂直拉伸3倍、水平压缩2倍后的方程。

1. 先应用垂直拉伸：整个函数乘以3：

   $$y = 3 f(x) = 3 \sin x$$
2. 应用水平压缩2倍：将 $x$ 替换为 $2x$：

   $$y = 3 \sin(2x)$$
3. 验证：原 $\sin x$ 的周期是 $2\pi$，新周期是 $\frac{2\pi}{2} = \pi$，符合压缩结果。

> **考试提示:** 相对于x轴的伸缩是垂直伸缩，相对于y轴的伸缩是水平伸缩。

## 组合变换

当应用多个变换时，顺序很重要。我们遵循与标准运算顺序（BIDMAS/BODMAS）一致的顺序：

1. 首先完成所有水平变换（在 $f(...)$ 内部）：先做伸缩/反射，再做平移。
2. 然后完成所有垂直变换（在 $f(...)$ 外部）：先做伸缩/反射，再做平移。

**例题:** 从 $f(x) = x^2$ 开始，写出经过以下变换后的方程：沿x轴反射，向左平移1个单位，向上平移3个单位。

1. 从原函数开始：

   $$y = x^2$$
2. 应用水平变换：向左平移1个单位，将 $x$ 替换为 $x + 1$：

   $$y = (x + 1)^2$$
3. 应用垂直变换：沿x轴反射，乘以-1：

   $$y = -(x + 1)^2$$
4. 应用向上平移3个单位的垂直平移：加上3：

   $$y = -(x + 1)^2 + 3$$
5. 检查：原顶点在 $(0,0)$，新顶点在 $(-1, 3)$，符合要求的变换。

**概念自测**

测试你对变换顺序的理解：

1. 从 $y = f(x)$ 得到 $y = 2f(x + 3) - 1$ 的正确顺序是什么？

   - A: 向左平移3个单位，垂直拉伸2倍，向下平移1个单位
   - B: 垂直拉伸2倍，向左平移3个单位，向下平移1个单位
   - C: 向下平移1个单位，垂直拉伸2倍，向左平移3个单位

   *解析:* 正确！先做水平变换，再做垂直变换，且伸缩在平移之前。

## 常见错误

- **错误做法:** 将 $f(x + 2)$ 写为向右平移2个单位
  - 原因: 水平平移的规则是平移 $b$ 对应 $f(x - b)$，因此符号是反转的
  - 正确做法: 对于正的 $c$，认识到 $f(x + c)$ 向左平移 $c$ 个单位，$f(x - c)$ 向右平移 $c$ 个单位
- **错误做法:** 将 $f(2x)$ 水平拉伸2倍
  - 原因: 水平伸缩的比例因子是反转的
  - 正确做法: $f(cx)$ 的水平伸缩比例因子为 $\frac{1}{c}$，所以 $f(2x)$ 是水平压缩2倍
- **错误做法:** 先做垂直平移，再做垂直伸缩
  - 原因: 运算顺序要求先做乘法（伸缩），再做加法（平移）
  - 正确做法: 对于垂直变换，始终先应用伸缩和反射，再应用平移
- **错误做法:** 将 $f(-x)$ 解读为沿x轴的反射
  - 原因: 负号在函数自变量内部，因此影响的是x坐标，不是y坐标
  - 正确做法: 外部负号 $(-f(x))$ = 沿x轴反射；内部负号 $(f(-x))$ = 沿y轴反射
- **错误做法:** 将 $y = f(x) + a$ 解读为向左平移 $a$ 个单位
  - 原因: 混淆了常数在函数内部还是外部的位置区别
  - 正确做法: 函数外部的常数改变y坐标，因此产生垂直平移

## 速查表

| 变换类型 | 对 $y=f(x)$ 的规则 | 对图像的影响 |
| --- | --- | --- |
| 垂直平移 $a$ | $y = f(x) + a$ | $a>0$ 时向上平移 $a$ 个单位 |
| 水平平移 $b$ | $y = f(x - b)$ | $b>0$ 时向右平移 $b$ 个单位 |
| 沿x轴反射 | $y = -f(x)$ | 沿x轴翻转，$y \to -y$ |
| 沿y轴反射 | $y = f(-x)$ | 沿y轴翻转，$x \to -x$ |
| 垂直伸缩 $k$ | $y = k f(x)$ | 垂直拉伸 $k$ 倍 |
| 水平伸缩 $c$ | $y = f(cx)$ | 水平压缩 $c$ 倍 |

## 下一步

掌握函数图像变换是IB数学AI SL几乎所有绘图主题的基础技能，包括二次函数、指数对数模型和周期三角函数。从简单的母函数出发，变换可以让你快速绘制复杂图像，在试卷1（无计算器）和试卷2（可使用计算器）考试中节省宝贵时间。你还会应用变换对现实世界现象建模，从平移季节温度模型到缩放人口增长曲线。这些知识直接为你准备构成期末考试很大一部分的更复杂函数和建模问题做好铺垫。

- [函数的真实世界建模](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-real-world-modeling-with-functions/)
- [几何与三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-overview/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-transformations-of-function-graphs/