# 函数的真实世界建模

> IB 数学：应用与解释 SL · 第二单元：函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-real-world-modeling-with-functions/

本模块讲解如何将真实世界问题转化为函数模型、将函数拟合到数据、解释结果并进行预测。你将学习如何在IB考试中检验模型有效性并评价预测可靠性。

**先修:** [一次函数、指数函数和二次函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-types-of-functions/); [使用GDC进行回归](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u4-regression-with-gdc/)

## 学习目标

- 将真实场景转化为定义清晰的函数模型
- 验证模型拟合度并评价预测可靠性
- 在考试题目中结合情景解释模型参数
- 使用GDC选择并拟合三次与变化模型，并求解方程与方程组

## 将情景转化为函数模型

任何建模问题的第一步都是清晰定义变量。按照考试评分要求，所有变量都必须结合情景给出单位。

**函数模型** — 描述真实场景中变量之间关系的函数，通常拟合自观测数据。

*记法:* $y = f(x)$

*例:* $d = 4t + 2$, where $d$ = 距离（km），$t$ = 时间（小时）

**例题:** 一家咖啡馆以\$4的单价卖出120个三明治，以\$6的单价卖出80个三明治。假设价格$p$和销量$n$之间为线性关系，写出$n$关于$p$的模型。

1. 我们得到直线上的两个点：$(p_1, n_1) = (4, 120)$ 和 $(p_2, n_2) = (6, 80)$。首先计算斜率：
2. $$m = \frac{n_2 - n_1}{p_2 - p_1} = \frac{80 - 120}{6 - 4} = -20$$
3. 将$m$和一个点代入$n = mp + c$求截距$c$：
4. $$120 = (-20)(4) + c \implies c = 200$$
5. 写出完整模型并定义变量：
6. $$n = -20p + 200 \quad \text{where } n = \text{销量}, p = \text{价格 (USD)}$$

> **考试提示:** 在写出模型前，一定要定义好变量并给出单位，这几乎总是占1分。

## 拟合模型与检验有效性

大多数IB建模题要求你使用GDC将函数拟合到给定数据。拟合完成后，你可以通过决定系数$R^2$检验模型与数据的匹配程度。

> **info**
>
> $R^2$ 的取值范围是0到1。越接近1说明模型对现有数据的拟合越好，越接近0说明拟合越差。

**例题:** 植物种植$t$周后的高度（cm）对应数据为：$(1, 2.1), (2, 3.9), (3, 5.8), (4, 8.2)$。使用GDC拟合线性模型并评价拟合效果。

1. 将数据输入GDC进行线性回归，输出结果为：
2. $$h = 2.01t + 0.05, \quad R^2 = 0.999$$
3. 解释结果：$R^2$几乎等于1，因此线性模型对该观测数据的拟合效果极佳。

**概念自测**

测试你对$R^2$的理解：

1. 哪个$R^2$值代表最佳的模型拟合效果？

   - 0.5
   - 0.92
   - 0.99
   - -0.2

   *解析:* 正确！$R^2$的取值范围是0到1，1代表对现有数据的完全拟合。

## 内插法 vs 外插法

得到模型后，你可以用它估算未知值。预测的可靠性取决于估算值落在原始数据范围内部还是外部。

**预测可靠性** — 我们对模型预测结果匹配真实值的置信程度。数据范围内的内插法几乎总是比范围外的外插法更可靠。

*例:* 使用1-18岁的数据预测25岁的身高属于外插法，预测结果很可能不可靠。

**例题:** 使用植物模型 $h = 2.01t + 0.05$，预测种植10周后的高度并评价预测可靠性。原始数据的$t$范围为1到4。

1. 将$t=10$代入模型：
2. $$h = 2.01(10) + 0.05 = 20.15 \text{ cm}$$
3. 评价可靠性：$t=10$超出了原始数据范围，因此这是外插法。植物生长会随时间放缓并停止，因此线性趋势不会延续，该预测不可靠。

> **考试提示:** 当题目要求评价预测可靠性时，一定要明确说明你的预测属于内插还是外插。

## 结合情景解释模型参数

IB考试非常频繁地要求你结合情景解释模型的斜率、截距或增长因子。你必须始终结合变量和情景作答才能拿到满分。

**例题:** 汽车价值的线性模型为 $V = -2500t + 20000$，其中$V$是汽车价值（USD），$t$是车龄（年）。结合情景解释斜率和截距。

1. 解释截距（当$t=0$时，汽车是新车）：截距为20000，因此新车的原始价值是\$20,000。
2. 解释斜率（价值随车龄的变化率）：斜率为-2500，因此汽车价值平均每年减少\$2,500。

## 三次模型

一些真实世界数据会先上升、再下降、然后又上升——例如一家公司的月收入先增长、再回落、然后又回升。当线性、二次或指数模型都无法刷捕捉这种反复改变方向的行为时，三次模型往往是一个好选择。

**三次模型** — 含四个参数 $a, b, c, d$ 的三次多项式模型。它最多可以有两个拐点，因此适合会两次改变方向的数据。你可以用GDC的三次回归拟合这些参数。

*记法:* $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

*例:* $V(t) = -0.4t^3 + 2t^2 + 3t + 2$，用于建模无人机试飞 $t$ 秒时的高度 $V$（米）。

> **info**
>
> 你不需要代数求出 $a, b, c, d$。将数据点输入GDC的统计编辑器，选择三次（degree 3）回归——GDC会返回全部四个系数，大多数型号还会给出 $R^2$ 值。

**例题:** 一次试飞中记录了无人机在时间 $t$ 秒时的高度 $H$（米）：$(0, 2), (1, 6.6), (2, 12.8), (3, 18.2), (4, 20.4), (5, 17)$。用GDC拟合三次模型，然后估计 $t = 2.5$ 秒时的高度。

1. 将六个数据点输入GDC统计编辑器，$t$ 放一列，$H$ 放另一列，选择三次回归。GDC返回：
2. $$H = -0.4t^3 + 2t^2 + 3t + 2, \quad R^2 = 1.00$$
3. 要估计 $t = 2.5$ 时的高度，将 $t = 2.5$ 代入拟合模型（或使用GDC的表格/取值功能）：
4. $$H = -0.4(2.5)^3 + 2(2.5)^2 + 3(2.5) + 2 = 15.75 \approx 15.8 \text{ m}$$
5. 因为 $t = 2.5$ 落在数据范围 $0 \le t \le 5$ 内，这是内插法，因此估计值可靠。

> **考试提示:** 对于三次模型，将数据输入GDC并使用三次（degree 3）回归——你永远不需要手算这四个系数。

## 正比与反比变化模型

很多量之间的关系是“一个量是另一个量的某个幂”。这些关系用 $f(x) = ax^n$ 建模，其中 $n$ 是整数。当 $n > 0$ 时输出随输入增大（正比变化）；当 $n < 0$ 时输出随输入增大而减小（反比变化）。

**正比与反比变化** — 一种幂模型，输出随输入的 $n$ 次幂变化。若 $n > 0$（如 $y = ax^2$），输出随 $x$ 增大而增大——正比变化；若 $n < 0$（如 $y = ax^{-1} = a/x$），输出随 $x$ 增大而减小——反比变化。

*记法:* $f(x) = ax^n, \; n \in \mathbb{Z}$

*例:* $P = 1200V^{-1}$，即 $P = 1200/V$，用于建模气体压强 $P$（kPa）与体积 $V$（升）的关系。

> **warning**
>
> 当 $n < 0$ 时，模型在 $x = 0$（y 轴）处有竖直渐近线，在 $y = 0$ 处有水平渐近线。当 $x \to 0^{+}$ 时输出无限增大，因此反比变化模型永远无法在 $x = 0$ 处取值。

**例题:** 注满水罐所需时间 $t$（小时）与泵的流量 $r$（升/分钟）成反比，即 $t = a/r$。一台以 20 L/min 运行的泵能在 6 小时内注满水罐。求出模型，然后求流量提高到 30 L/min 时所需的时间。

1. 反比变化意味着 $t = ar^{-1} = \dfrac{a}{r}$。用已知数据对 $(r, t) = (20, 6)$ 求 $a$：
2. $$6 = \frac{a}{20} \implies a = 120$$
3. 因此模型为：
4. $$t = \frac{120}{r}$$
5. 将 $r = 30$ 代入，求新的注满时间：
6. $$t = \frac{120}{30} = 4 \text{ hours}$$

**概念自测**

测试你对反比变化的理解：

1. $y = \dfrac{8}{x}$ 的图像在 $x = 0$ 附近会怎么样？

   - 它在 $y = 8$ 处穿过 y 轴
   - 它在 $x = 0$（y 轴）处有竖直渐近线
   - 它在 $x = 0$ 处有一个拐点
   - 它是一条过原点的直线

   *解析:* 正确！对于 $n < 0$ 的 $y = ax^n$，y 轴是竖直渐近线，且模型在 $x = 0$ 处无定义。

> **考试提示:** 对于像 $y = a/x$ 这样的反比变化模型，记住图像以 y 轴（$x = 0$）为竖直渐近线——模型永远无法在 $x = 0$ 处取值。

## 用技术解方程与方程组

得到模型后，考题常常要求你解一个方程——例如求两个模型相等的时刻，或求什么输入能得到目标输出。在 AI SL 中，你应该用技术而不是手算来完成这一点。

> **info**
>
> 你的GDC可以为你解两类问题：（1）最多三元的三个线性方程组，用联立方程求解器；（2）多项式方程，用方程求解器或两个图像的交点。

**例题:** 两个话费套餐按 $m$ 分钟收取月费 $C$（美元）：套餐 A 为 $C = 15 + 0.10m$，套餐 B 为 $C = 25 + 0.05m$。用技术求两个套餐费用相等时的分钟数。

1. 当两个模型相等时，两个套餐费用相同。列出方程：
2. $$15 + 0.10m = 25 + 0.05m$$
3. 将两个表达式作为 $Y_1$ 和 $Y_2$ 输入GDC，求交点（或用方程求解器）。GDC给出：
4. $$m = 200 \text{ minutes}$$
5. 结合情景验证：200 分钟时两个套餐都是 $C = 15 + 0.10(200) = \$35$，印证了这个解。

**例题:** 一家商店按固定价格 $s$、$m$、$l$ 美元出售小、中、大三种盒子。记录了三笔订单：2 小 + 1 中 + 1 大 = \$16；1 小 + 3 中 + 2 大 = \$27；3 小 + 2 中 + 1 大 = \$23。用技术求每种盒子的价格。

1. 将三笔订单转化为三元的三个线性方程组：
2. $$\begin{cases} 2s + m + l = 16 \\ s + 3m + 2l = 27 \\ 3s + 2m + l = 23 \end{cases}$$
3. 将系数输入GDC的联立方程（3×3 线性方程组）求解器。GDC返回：
4. $$s = 3, \quad m = 4, \quad l = 6$$
5. 结合情景作答：小盒子 \$3，中盒子 \$4，大盒子 \$6。

> **考试提示:** 当建模题要求你“解”或“求何时”时，让GDC去做：单个方程用方程求解器或图像交点，方程组用联立方程求解器。

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记在写出模型前定义变量并给出单位
  - 原因: 阅卷官几乎总是会给清晰的变量定义分配1分，跳过这一步会白白丢分
  - 正确做法: 作答时一定要先说明每个变量的含义，包含单位
- **错误做法:** 未经论证就声称外插法一定不可靠
  - 原因: 如果已知趋势在数据范围外仍然延续，外插法也可以可靠；你必须结合情景说明
  - 正确做法: 明确指出预测属于外插法，然后结合情景解释趋势是否可能延续
- **错误做法:** 将负斜率视为计算错误
  - 原因: 负斜率仅代表因变量随自变量增大而减小，这在很多情景下都是正确的
  - 正确做法: 根据情景解释符号：汽车价值的负斜率代表价值随时间折旧（减少），这符合逻辑
- **错误做法:** 认为高$R^2$就代表外插法可靠
  - 原因: 高$R^2$仅能证明模型拟合现有数据，不能保证趋势在数据范围外仍然延续
  - 正确做法: 始终根据问题情景判断外插法的可靠性，不能仅依靠$R^2$

## 速查表

| 步骤 | 要求操作 | 考试提示 |
| --- | --- | --- |
| 1 | 定义变量并给出单位 | 几乎总是占1分 |
| 2 | 求解/拟合函数方程 | 二次检查GDC数据输入 |
| 3 | 用$R^2$检验拟合效果 | $R^2 \approx 1$ = 对数据拟合良好 |
| 4 | 进行预测 | 说明是内插还是外插 |
| 5 | 评价预测可靠性 | 外插法需要结合情景论证 |
| 6 | 解释参数 | 始终结合情景和单位 |

## 下一步

函数的真实世界建模是IB AI SL每张试卷都会考察的核心技能，也是未来多个主题（包括统计回归、数列增长模型、微积分变化率应用）的基础。这项技能也经常在内部评估（IA）项目中考察，你需要为自己选择的真实世界数据集创建模型。掌握从情景到数学模型的转化、检验拟合、评价预测可靠性的流程，能帮你在几乎每张试卷上轻松拿到分数，也为你的IA成功打好基础。

- [几何与三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-overview/)
- [三维立体的体积与表面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-volume-and-surface-area-of/)
- [直角三角形三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-right-angled-triangle-trigonometry/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-real-world-modeling-with-functions/