二次函数、根与顶点

IB 数学：应用与解释 SL· 45 分钟阅读

1. 二次函数的形式★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

二次函数

$f (x) = a x^{2} + b x + c, a \neq = 0$

二次多项式函数，图像为抛物线。当 $a > 0$ 时开口向上（顶点为最小值点），当 $a < 0$ 时开口向下（顶点为最大值点）。

例:

$f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 2$ 是一个开口向上的二次函数。

标准式: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，可直接得到y轴截距 $(0, c)$
因式分解式: $f (x) = a (x - r_{1}) (x - r_{2})$ ，可直接得到根 $r_{1}, r_{2}$
顶点式: $f (x) = a (x - h)^{2} + k$ ，可直接得到顶点 $(h, k)$

📐 例题

将 $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ 写为因式分解式和顶点式，并说明每种形式可直接得到什么特征。

1
对二次式因式分解：找到两个数乘积为3，和为-4，即-1和-3，因此得到因式分解式：
2
$f(x) = (x - 1)(x - 3)$
3
通过配方法转化为顶点式：合并x项后配方：
4
$f(x) = (x^2 - 4x) + 3 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x - 2)^2 - 1$
5
因式分解式可直接得到根为 $x = 1$ 和 $x = 3$ ，顶点式可直接得到顶点为 $(2, - 1)$ 。

Exam tip:

一定要先确认题目给出的二次函数形式，避免对可直接读出的特征做多余计算。

2. 求二次函数的根★★★☆☆⏱ 15 min

📘 定义

二次函数的根

满足 $f (x) = 0$ 的 $x$ 值，对应抛物线与x轴的交点。一个二次函数可以有0、1或2个实根。

例:

$f (x) = (x - 1) (x - 3)$ 的根是 $x = 1$ 和 $x = 3$ 。

📐 例题

求 $f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 3$ 的所有实根。

1
从标准式中确认系数： $a = 2$ ， $b = - 7$ ， $c = 3$ 。计算判别式：
2
$\Delta = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25$
3
$Δ = 25 > 0$ ，因此有两个不同的实根。应用求根公式：
4
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{4}$
5
计算两个根： $x = \frac{12}{4} = 3$ 和 $x = \frac{2}{4} = 0.5$ ，因此根为 $x = 0.5$ 和 $x = 3$ 。

Exam tip:

一定要先写出判别式的计算过程——即使你算错最终的根，也能得到步骤分。

3. 求二次函数的顶点★★★☆☆⏱ 15 min

📘 定义

抛物线的顶点

抛物线的转折点。当抛物线开口向上（ $a > 0$ ）时是最小值点，开口向下（ $a < 0$ ）时是最大值点。顶点的x坐标始终是两个根的中点。

例:

对于根 $x = 1$ 和 $x = 3$ ，顶点的x坐标为 $\frac{1 + 3}{2} = 2$ 。

对于标准式 $a x^{2} + b x + c$ 的二次函数，顶点的x坐标可以直接用公式 $x = - \frac{b}{2 a}$ 计算，将该值代回函数即可得到y坐标。

📐 例题

求 $f (x) = 3 x^{2} - 12 x + 7$ 的顶点，并说明它是最大值点还是最小值点。

1
确认 $a = 3$ ， $b = - 12$ ，用公式计算顶点的x坐标：
2
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-12)}{2(3)} = 2$
3
将 $x = 2$ 代回函数求y坐标：
4
$f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 7 = 12 - 24 + 7 = -5$
5
顶点为 $(2, - 5)$ 。因为 $a = 3 > 0$ ，抛物线开口向上，因此这是最小值转折点。

Exam tip:

对于优化问题（最大利润、最小成本、最大高度），答案几乎都是顶点的y坐标。

4. 在实际场景中解释根和顶点的含义★★★★☆⏱ 15 min

IB AI SL中几乎所有二次函数问题都是结合实际场景的，因此你需要在问题情景中解释计算结果，而不只是给出数学答案。

📐 例题

球被抛出后 $t$ 秒的高度为 $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 2$ （高度单位为米）。求球何时落地，以及它的最大高度是多少？

1
球落地时高度为0，因此我们需要求 $h (t) = 0$ 的正根（这里负时间没有实际意义）。因为 $a = - 5 < 0$ ，顶点是最大值点，所以最大高度是顶点的y坐标。
2
计算顶点：最大高度对应的时间为 $t = - \frac{20}{2 ( - 5 )} = 2$ 秒，最大高度为：
3
$h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 2 = 22 \text{ 米}$
4
用求根公式计算正根：
5
$t = \frac{20 \pm \sqrt{440}}{10} \approx 4.1 \text{ 秒（正根）}$
6
解释：球在抛出2秒后达到22米的最大高度，在约4.1秒后落地。

5. 常见陷阱

错误做法:

将 $0 x^{2} + 2 x + 1$ 当作二次函数，尝试应用求根公式

原因:

如果 $x^{2}$ 的系数为零，该函数是一次函数而非二次函数，因此只有一个根

正确做法:

使用任何二次函数方法前，一定要先确认 $x^{2}$ 的系数非零

错误做法:

计算 $x = - \frac{b}{2 a}$ 时符号处理错误，得到错误的顶点x坐标

原因:

当 $b$ 本身为负数时，很容易忘记公式前面的负号

正确做法:

代入前先明确写出 $b$ 及其符号，例如对于 $x^{2} - 4 x + 3$ ， $b = - 4$ 因此 $x = - \frac{( - 4 )}{2 ( 1 )} = 2$

错误做法:

在抛体运动这类实际问题中同时保留正根和负根

原因:

考官希望你结合实际场景解释结果，而不只是输出所有数学解

正确做法:

给出最终答案前，一定要舍弃所有在问题情景中不合理的结果

错误做法:

当题目问最大高度时，将顶点的x坐标作为答案

原因:

算出x坐标后很容易就停止了，但题目通常问的是最大值，而不是最大值发生的时间

正确做法:

一定要确认题目问的是什么：最大值 = y坐标，最大值对应的时间 = x坐标

6. 速查表

特征	标准式: $a x^{2} + b x + c$	因式分解式: $a (x - r_{1}) (x - r_{2})$	顶点式: $a (x - h)^{2} + k$
根	$x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$	直接读出为 $r_{1}, r_{2}$	令等式为0后解 $x$
实根个数	$Δ > 0$ : 2个; $Δ = 0$ : 1个; $Δ < 0$ : 0个	2个不同根或1个重根	和标准式相同
顶点x坐标	$- \frac{b}{2 a}$	$\frac{r _{1} + r _{2}}{2}$	直接读出为 $h$
顶点y坐标	代入 $x = - \frac{b}{2 a}$	代入 $x = \frac{r _{1} + r _{2}}{2}$	直接读出为 $k$
y轴截距	直接读出为 $c$	代入 $x = 0$ 计算	代入 $x = 0$ 计算
最大值/最小值	$a < 0$ 时为最大值， $a > 0$ 时为最小值	规则相同	规则相同

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · 1
求二次函数的顶点和根
2024 · 2
抛体高度实际应用问题
2023 · 1
用判别式判断实根个数

下一步

二次函数是IB AI SL中更高级非线性建模的基础，几乎每张IB试卷都会考察，通常出现在分值为5-8分的实际应用题中。掌握快速识别和计算根与顶点的方法，能让你高效解决考试中的常见问题，包括优化问题、抛体运动和利润建模。本子主题也是学习本课程后续其他非线性函数（如指数函数和三次函数）的前提。接下来，你将在此基础上学习求解二次不等式，以及用二次回归对实际二元数据建模。