# 二次函数、根与顶点

> IB 数学：应用与解释 SL · 第二单元：函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-quadratic-functions-roots-and-vertices/

二次函数是二阶多项式，可用于建模抛物线运动、利润曲线和抛体轨迹。本模块讲解如何求二次函数的根（x轴截距）和顶点，这两个是解决IB AI SL应用类问题最重要的特征。

**先修:** [多项式基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-polynomial-operations/); [解一元一次方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-linear-equations/)

## 学习目标

- 识别不同形式二次函数的关键特征
- 用多种方法计算二次函数的根
- 求二次函数的顶点，并判断其是最大值点还是最小值点
- 在实际应用场景中解释根和顶点的含义

## 二次函数的形式

**二次函数** — 二次多项式函数，图像为抛物线。当$a>0$时开口向上（顶点为最小值点），当$a<0$时开口向下（顶点为最大值点）。

*记法:* $f(x) = ax^2 + bx + c, a \neq 0$

*例:* $f(x) = 2x^2 - 5x + 2$是一个开口向上的二次函数。

- **标准式**: $f(x) = ax^2 + bx + c$，可直接得到y轴截距$(0, c)$
- **因式分解式**: $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)$，可直接得到根$r_1, r_2$
- **顶点式**: $f(x) = a(x - h)^2 + k$，可直接得到顶点$(h, k)$

**例题:** 将$f(x) = x^2 - 4x + 3$写为因式分解式和顶点式，并说明每种形式可直接得到什么特征。

1. 对二次式因式分解：找到两个数乘积为3，和为-4，即-1和-3，因此得到因式分解式：
2. $$f(x) = (x - 1)(x - 3)$$
3. 通过配方法转化为顶点式：合并x项后配方：
4. $$f(x) = (x^2 - 4x) + 3 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x - 2)^2 - 1$$
5. 因式分解式可直接得到根为$x=1$和$x=3$，顶点式可直接得到顶点为$(2, -1)$。

> **考试提示:** 一定要先确认题目给出的二次函数形式，避免对可直接读出的特征做多余计算。

## 求二次函数的根

**二次函数的根** — 满足$f(x) = 0$的$x$值，对应抛物线与x轴的交点。一个二次函数可以有0、1或2个实根。

*例:* $f(x) = (x-1)(x-3)$的根是$x=1$和$x=3$。

> **info**
>
> 判别式$\Delta = b^2 - 4ac$可判断实根个数：$\Delta > 0$（2个不同实根），$\Delta = 0$（1个重根），$\Delta < 0$（无实根）。

**例题:** 求$f(x) = 2x^2 - 7x + 3$的所有实根。

1. 从标准式中确认系数：$a=2$，$b=-7$，$c=3$。计算判别式：
2. $$\Delta = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25$$
3. $\Delta = 25 > 0$，因此有两个不同的实根。应用求根公式：
4. $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{4}$$
5. 计算两个根：$x = \frac{12}{4} = 3$和$x = \frac{2}{4} = 0.5$，因此根为$x=0.5$和$x=3$。

> **考试提示:** 一定要先写出判别式的计算过程——即使你算错最终的根，也能得到步骤分。

## 求二次函数的顶点

**抛物线的顶点** — 抛物线的转折点。当抛物线开口向上（$a>0$）时是最小值点，开口向下（$a<0$）时是最大值点。顶点的x坐标始终是两个根的中点。

*例:* 对于根$x=1$和$x=3$，顶点的x坐标为$\frac{1+3}{2} = 2$。

对于标准式$ax^2 + bx + c$的二次函数，顶点的x坐标可以直接用公式$x = -\frac{b}{2a}$计算，将该值代回函数即可得到y坐标。

**例题:** 求$f(x) = 3x^2 - 12x + 7$的顶点，并说明它是最大值点还是最小值点。

1. 确认$a=3$，$b=-12$，用公式计算顶点的x坐标：
2. $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-12)}{2(3)} = 2$$
3. 将$x=2$代回函数求y坐标：
4. $$f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 7 = 12 - 24 + 7 = -5$$
5. 顶点为$(2, -5)$。因为$a=3 > 0$，抛物线开口向上，因此这是最小值转折点。

> **考试提示:** 对于优化问题（最大利润、最小成本、最大高度），答案几乎都是顶点的y坐标。

## 在实际场景中解释根和顶点的含义

IB AI SL中几乎所有二次函数问题都是结合实际场景的，因此你需要在问题情景中解释计算结果，而不只是给出数学答案。

**例题:** 球被抛出后$t$秒的高度为$h(t) = -5t^2 + 20t + 2$（高度单位为米）。求球何时落地，以及它的最大高度是多少？

1. 球落地时高度为0，因此我们需要求$h(t)=0$的正根（这里负时间没有实际意义）。因为$a=-5 < 0$，顶点是最大值点，所以最大高度是顶点的y坐标。
2. 计算顶点：最大高度对应的时间为$t = -\frac{20}{2(-5)} = 2$秒，最大高度为：
3. $$h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 2 = 22 \text{ 米}$$
4. 用求根公式计算正根：
5. $$t = \frac{20 \pm \sqrt{440}}{10} \approx 4.1 \text{ 秒（正根）}$$
6. 解释：球在抛出2秒后达到22米的最大高度，在约4.1秒后落地。

> **tip**
>
> 一定要检查你的结果在实际场景中是否合理。时间、高度、长度为负值几乎都不是有效答案。

## 常见错误

- **错误做法:** 将$0x^2 + 2x + 1$当作二次函数，尝试应用求根公式
  - 原因: 如果$x^2$的系数为零，该函数是一次函数而非二次函数，因此只有一个根
  - 正确做法: 使用任何二次函数方法前，一定要先确认$x^2$的系数非零
- **错误做法:** 计算$x = -\frac{b}{2a}$时符号处理错误，得到错误的顶点x坐标
  - 原因: 当$b$本身为负数时，很容易忘记公式前面的负号
  - 正确做法: 代入前先明确写出$b$及其符号，例如对于$x^2 - 4x +3$，$b=-4$因此$x = -\frac{(-4)}{2(1)} = 2$
- **错误做法:** 在抛体运动这类实际问题中同时保留正根和负根
  - 原因: 考官希望你结合实际场景解释结果，而不只是输出所有数学解
  - 正确做法: 给出最终答案前，一定要舍弃所有在问题情景中不合理的结果
- **错误做法:** 当题目问最大高度时，将顶点的x坐标作为答案
  - 原因: 算出x坐标后很容易就停止了，但题目通常问的是最大值，而不是最大值发生的时间
  - 正确做法: 一定要确认题目问的是什么：最大值 = y坐标，最大值对应的时间 = x坐标

## 速查表

| 特征 | 标准式: $ax^2+bx+c$ | 因式分解式: $a(x-r_1)(x-r_2)$ | 顶点式: $a(x-h)^2+k$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 根 | $x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ | 直接读出为$r_1, r_2$ | 令等式为0后解$x$ |
| 实根个数 | $\Delta>0$: 2个; $\Delta=0$: 1个; $\Delta<0$: 0个 | 2个不同根或1个重根 | 和标准式相同 |
| 顶点x坐标 | $-\frac{b}{2a}$ | $\frac{r_1 + r_2}{2}$ | 直接读出为$h$ |
| 顶点y坐标 | 代入$x=-\frac{b}{2a}$ | 代入$x=\frac{r_1+r_2}{2}$ | 直接读出为$k$ |
| y轴截距 | 直接读出为$c$ | 代入$x=0$计算 | 代入$x=0$计算 |
| 最大值/最小值 | $a<0$时为最大值，$a>0$时为最小值 | 规则相同 | 规则相同 |

## 下一步

二次函数是IB AI SL中更高级非线性建模的基础，几乎每张IB试卷都会考察，通常出现在分值为5-8分的实际应用题中。掌握快速识别和计算根与顶点的方法，能让你高效解决考试中的常见问题，包括优化问题、抛体运动和利润建模。本子主题也是学习本课程后续其他非线性函数（如指数函数和三次函数）的前提。接下来，你将在此基础上学习求解二次不等式，以及用二次回归对实际二元数据建模。

- [指数与对数函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-exponential-and-logarithmic-functions/)
- [函数图像变换](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-transformations-of-function-graphs/)
- [函数的真实世界建模](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-real-world-modeling-with-functions/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-quadratic-functions-roots-and-vertices/