单元总览

函数

IB 数学：应用与解释 SL· 5 分钟阅读 📊 占考试总分的22-24%

1. 单元概览

我们从函数的基本定义开始，逐步学习复合和反函数等核心运算，之后深入研究本课程全程会用到的最常见函数类型。本单元平衡了过程性技能（如求定义域、绘制函数图像、求根）与符合AI SL侧重实际问题解决要求的应用技能：即根据真实数据构建模型。

内容顺序循序渐进：你将先掌握核心概念，再探索具体函数类型，学习适用于所有函数的变换，最后将所有知识应用于实际建模。每个主题都依赖本单元前面介绍的概念，因此最好按顺序学习。

本单元包含以下子主题：

函数的概念、定义域、值域和图像

学习函数的正式定义，以及如何根据方程和图像求定义域和值域。

★★⏱ 6 min

复合函数

学习如何构造、求值复合函数，以及求复合函数的定义域。

★★★⏱ 5 min

反函数

理解函数与其反函数的关系，掌握用代数法和图像法求反函数。

★★★⏱ 5 min

一次函数及其图像

复习并掌握一次函数的性质、图像和核心应用。

★⏱ 4 min

二次函数、根和顶点

分析二次函数，求根，确定顶点，并解读其图像。

★★⏱ 7 min

指数函数与对数函数

探索指数函数与对数函数的互逆关系及其核心性质。

★★★⏱ 8 min

函数图像的变换

学习平移、拉伸和反射变换如何影响函数图像及其方程。

★★★⏱ 6 min

函数实际建模

运用函数知识为实际量化场景构建并解读模型。

★★★★⏱ 9 min

2. 常见陷阱

错误做法:

忘记复合函数的定义域需要同时满足内层函数和外层函数的要求。

原因:

代数化简会掩盖内层函数不允许的无效输入值。

正确做法:

求复合函数定义域时，一定要交叉检查输入对内层函数和外层函数都有效。

错误做法:

混淆水平变换规则，例如认为 $f (x + 2)$ 将图像右移2个单位。

原因:

函数内部（对 $x$ 项的）变换，方向与直觉相反。

正确做法:

记住： $f ()$ 内部的变换对x轴的影响方向与符号相反。

错误做法:

不先检查定义就把所有关系都当作函数。

原因:

并非所有图像或关系都满足函数的一输入一输出要求，会导致反函数计算错误。

正确做法:

继续计算前，一定要用竖直线测试或正式定义验证该关系是函数。

3. 速查表

概念 / 核心公式	说明
函数定义	定义域中每个输入 $x$ 恰好对应一个输出 $y$ 的关系
$f (g (x))$ 的定义域	所有 $g$ 定义域内满足 $g (x)$ 在 $f$ 定义域内的 $x$
反函数性质	$f^{- 1} (f (x)) = x$ ；反函数的图像是原函数关于 $y = x$ 的对称图形
一次函数	$f (x) = m x + c$ , $m$ = 斜率, $c$ = y轴截距
二次函数顶点式	$f (x) = a (x - h)^{2} + k$ , 顶点在 $(h, k)$
指数函数	$f (x) = a b^{x}$ , $a$ = 初始值, $b$ = 增长/衰减因子
对数恒等式	$lo g_{b} (b^{x}) = x$ 且 $b^{l o g_{b} (x)} = x$
一般变换	$f (x - h) + k$ 将 $f (x)$ 右移 $h$ 个单位，上移 $k$ 个单位

下一步

本单元内容循序渐进，因此我们建议从第一个关于核心函数定义、定义域和值域的子主题开始学习。按顺序学习每个子主题，逐步提升你的技能。完成本函数单元所有子主题后，你将进入下一单元学习几何与三角学。