# 函数

> IB 数学：应用与解释 SL · IB AI SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-overview/
> 占比: 占考试总分的22-24%

本单元涵盖核心函数概念、主要函数类型和应用建模技术，这些内容是IB AI SL中大多数定量问题求解的基础。你将把代数规则与图像性质联系起来，运用函数解决实际问题。

**先修:** 代数基础（第一单元）

## 学习目标

- 认识函数的定义，正确求出常见函数类型的定义域和值域
- 完成函数核心运算，包括复合函数和反函数的计算
- 绘制并分析主要函数类型：一次函数、二次函数、指数函数和对数函数
- 预测变换对函数图像和方程的影响
- 选择并使用合适的函数对实际量化场景建模

## 单元概览

我们从函数的基本定义开始，逐步学习复合和反函数等核心运算，之后深入研究本课程全程会用到的最常见函数类型。本单元平衡了过程性技能（如求定义域、绘制函数图像、求根）与符合AI SL侧重实际问题解决要求的应用技能：即根据真实数据构建模型。

内容顺序循序渐进：你将先掌握核心概念，再探索具体函数类型，学习适用于所有函数的变换，最后将所有知识应用于实际建模。每个主题都依赖本单元前面介绍的概念，因此最好按顺序学习。

本单元包含以下子主题：
- [函数的概念、定义域、值域和图像](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u2-concept-of-function-domain-range/) — 学习函数的正式定义，以及如何根据方程和图像求定义域和值域。
- [反函数](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u2-inverse-functions/) — 理解函数与其反函数的关系，掌握用代数法和图像法求反函数。
- [一次函数及其图像](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u2-linear-functions-and-their-graphs/) — 复习并掌握一次函数的性质、图像和核心应用。
- [二次函数、根和顶点](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u2-quadratic-functions-roots-and-vertices/) — 分析二次函数，求根，确定顶点，并解读其图像。
- [指数函数与对数函数](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u2-exponential-and-logarithmic-functions/) — 探索指数函数与对数函数的互逆关系及其核心性质。
- [函数图像的变换](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u2-transformations-of-function-graphs/) — 学习平移、拉伸和反射变换如何影响函数图像及其方程。
- [函数实际建模](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-ai-sl-u2-real-world-modeling-with-functions/) — 运用函数知识为实际量化场景构建并解读模型。

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记复合函数的定义域需要同时满足内层函数和外层函数的要求。
  - 原因: 代数化简会掩盖内层函数不允许的无效输入值。
  - 正确做法: 求复合函数定义域时，一定要交叉检查输入对内层函数和外层函数都有效。
- **错误做法:** 混淆水平变换规则，例如认为 $f(x+2)$ 将图像右移2个单位。
  - 原因: 函数内部（对 $x$ 项的）变换，方向与直觉相反。
  - 正确做法: 记住：$f()$ 内部的变换对x轴的影响方向与符号相反。
- **错误做法:** 不先检查定义就把所有关系都当作函数。
  - 原因: 并非所有图像或关系都满足函数的一输入一输出要求，会导致反函数计算错误。
  - 正确做法: 继续计算前，一定要用竖直线测试或正式定义验证该关系是函数。

## 速查表

| 概念 / 核心公式 | 说明 |
| --- | --- |
| 函数定义 | 定义域中每个输入 $x$ 恰好对应一个输出 $y$ 的关系 |
| $f(g(x))$ 的定义域 | 所有 $g$ 定义域内满足 $g(x)$ 在 $f$ 定义域内的 $x$ |
| 反函数性质 | $f^{-1}(f(x))=x$；反函数的图像是原函数关于 $y=x$ 的对称图形 |
| 一次函数 | $f(x) = mx + c$, $m$ = 斜率, $c$ = y轴截距 |
| 二次函数顶点式 | $f(x) = a(x-h)^2 + k$, 顶点在 $(h,k)$ |
| 指数函数 | $f(x) = ab^x$, $a$ = 初始值, $b$ = 增长/衰减因子 |
| 对数恒等式 | $\log_b(b^x) = x$ 且 $b^{\log_b(x)} = x$ |
| 一般变换 | $f(x-h) + k$ 将 $f(x)$ 右移 $h$ 个单位，上移 $k$ 个单位 |

## 下一步

本单元内容循序渐进，因此我们建议从第一个关于核心函数定义、定义域和值域的子主题开始学习。按顺序学习每个子主题，逐步提升你的技能。完成本函数单元所有子主题后，你将进入下一单元学习几何与三角学。

- [函数的概念、定义域、值域和图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-concept-of-function-domain-range/)
- [第三单元：几何与三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u3-overview/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-overview/