一次函数及其图像

IB 数学 AI SL· Topic 2.4· 5 分钟阅读

1. 定义与核心特征★☆☆☆☆⏱ 10 min

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📘 定义

一次函数

$f (x) = m x + c$

具有恒定变化率的一次函数，在 $x y$ -平面上的图像为一条直线。

例:

$f (x) = 2 x + 5$ 是一次函数； $f (x) = x^{2} - 1$ 不是一次函数

在标准斜截式 $y = m x + c$ 中， $m$ 是斜率（衡量倾斜程度和方向）， $c$ 是直线与 $y$ 轴交点处的 $y$ 坐标，即y轴截距。

📐 例题

找出直线 $2 y - 4 x = 12$ 的斜率和 $y$ -截距

1
将方程整理为斜截式 $y = m x + c$ ：
2
$2y = 4x + 12$
3
将所有项除以2，分离出 $y$ ：
4
$y = 2x + 6$
5
对比 $y = m x + c$ 得：斜率 $m = 2$ ， $y$ -截距为 $(0, 6)$

2. 求直线方程★★☆☆☆⏱ 15 min

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要求一条直线的方程，你需要两个信息：要么是斜率加直线上一点，要么是直线上的两个点。两点 $(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ 之间的斜率为：

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

得到斜率后，使用点斜式求出完整方程，再整理为斜截式：

y - y_1 = m(x - x_1)

📐 例题

求过点 $(2, 5)$ 和 $(4, 9)$ 的直线方程

1
根据两点计算斜率：
2
$m = \frac{9 - 5}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$
3
将 $m = 2$ 和点 $(2, 5)$ 代入点斜式：
4
$y - 5 = 2(x - 2)$
5
展开并整理为斜截式：
6
$y - 5 = 2x - 4 \implies y = 2x + 1$

3. 绘制图像与情境解释★★☆☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

一次函数非常常用于模拟现实场景。在实际情境中，斜率代表恒定变化率，y轴截距代表输入为0时的初始值。要绘制直线，你只需要两个不同的点即可。

📐 例题

一家咖啡店会议室收取固定$5租金，加上每人$2饮品费。写出总费用 $C$ 关于人数 $p$ 的一次函数，并解释斜率和截距的意义。

1
固定初始费用是截距，每人的费用是斜率： $c = 5$ ， $m = 2$
2
$C = 2p + 5$
3
解释：截距5表示即使没人参加也需要支付$5，斜率2表示每增加一人，总费用增加$2。
4
绘制图像时使用两个点：当 $p = 0$ ， $C = 5$ → $(0, 5)$ ；当 $p = 10$ ， $C = 25$ → $(10, 25)$ 。在 $p \geq 0$ 范围内连接两点（人数不能为负）。

4. 两条直线的交点★★★☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

两条直线的交点是同时满足两个方程的点 $(x, y)$ 。在实际情境中，这通常代表盈亏平衡点或均衡值。你可以用代数法或图像法求交点。

📐 例题

求 $y = 3 x - 4$ 和 $y = - x + 8$ 的交点

1
在交点处两个y相等，因此令两个y的表达式相等：
2
$3x - 4 = -x + 8$
3
求解 $x$ ：
4
$4x = 12 \implies x = 3$
5
将 $x = 3$ 代回任意一个方程求 $y$ ：
6
$y = -(3) + 8 = 5$
7
交点为 $(3, 5)$

✓ 快速检测

测试你的理解：

$y = 2 x + 1$ 和 $y = x + 4$ 的交点是？
- $(2, 5)$
- $(3, 7)$
- $(1, 3)$
- $(4, 8)$

5. 常见陷阱

错误做法:

整理 $a x + b y = c$ 时，斜率 $m$ 的符号错误

原因:

移项时忘记改变 $a x$ 的符号

正确做法:

逐步整理：先将 $a x$ 移到等号右侧，再将所有项除以 $b$ 分离出 $y$

错误做法:

将斜率计算为 $\frac{x _{2} - x _{1}}{y _{2} - y _{1}}$ ，而非纵坐标变化量除以横坐标变化量

原因:

在斜率公式中混淆了 $x$ 和 $y$ 变化量的顺序

正确做法:

始终记住斜率 = $y$ 的变化量（升高）除以 $x$ 的变化量（前进）

错误做法:

在实际情境问题中将整条无限直线画到负坐标轴区域

原因:

忘记距离或人数这类量不能为负

正确做法:

只在输入变量的有效范围内画直线，并标注定义域

错误做法:

求交点时只算出 $x$ 就停止

原因:

忘记交点是同时包含 $x$ 和 $y$ 坐标的二维点

正确做法:

始终将得到的 $x$ 值代回任意一个方程，求出对应的 $y$ 值

6. 速查表

概念	核心公式/规则
$(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ 之间的斜率	$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
斜截式	$y = m x + c$ , $m$ =斜率, $c$ = $y$ -截距
点斜式	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$
求两条直线的交点	令表达式相等，求解 $x$ ，再求 $y$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
求过两点的直线方程
2023 · 1
在实际情境中解释一次函数图像
2021 · 2
计算两条直线的交点

深入阅读

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下一步

一次函数是IB AI SL几乎所有其他主题的基础构建模块。掌握这些核心技能会让你学习线性回归、线性方程组、分段函数甚至非线性函数都容易得多，因为几乎所有非线性关系都可以在某一点附近用一次函数近似。在整个课程中，你会经常使用一次函数对现实世界数据建模、求解优化问题，以及解释变量之间的关系。接下来，你将在此基础上学习更复杂的函数，从二次函数开始，也就是函数单元的下一个核心主题。