# 一次函数及其图像

> IB 数学 AI SL · 函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-linear-functions-and-their-graphs/

本子主题涵盖一次函数的核心性质、如何求直线方程、绘制图像，以及计算两条直线的交点。这些是IB AI SL几乎所有其他主题的基础技能。

**先修:** [基础坐标几何](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u1-coordinate-basics/); 一次方程的代数变形

## 学习目标

- 从任意形式的一次函数中识别斜率和y轴截距
- 已知一点和斜率或两点，求直线方程
- 绘制一次函数图像，并在实际情境中解释斜率和截距的意义
- 计算两条直线的交点

## 定义与核心特征

**一次函数** — 具有恒定变化率的一次函数，在$xy$-平面上的图像为一条直线。

*记法:* $f(x) = mx + c$

*例:* $f(x) = 2x + 5$ 是一次函数；$f(x) = x^2 - 1$ 不是一次函数

在标准斜截式$y = mx + c$中，$m$是斜率（衡量倾斜程度和方向），$c$是直线与$y$轴交点处的$y$坐标，即y轴截距。

> **mnemonic**
>
> $m$表示直线每向右移动一格的变化量，$c$表示$x=0$时直线与$y$-轴的交点位置。

**例题:** 找出直线$2y - 4x = 12$的斜率和$y$-截距

1. 将方程整理为斜截式$y = mx + c$：
2. $$2y = 4x + 12$$
3. 将所有项除以2，分离出$y$：
4. $$y = 2x + 6$$
5. 对比$y = mx + c$得：斜率$m=2$，$y$-截距为$(0, 6)$

*计算器:* forbidden

## 求直线方程

要求一条直线的方程，你需要两个信息：要么是斜率加直线上一点，要么是直线上的两个点。两点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$之间的斜率为：

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

得到斜率后，使用点斜式求出完整方程，再整理为斜截式：

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

**例题:** 求过点$(2, 5)$和$(4, 9)$的直线方程

1. 根据两点计算斜率：
2. $$m = \frac{9 - 5}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$$
3. 将$m=2$和点$(2,5)$代入点斜式：
4. $$y - 5 = 2(x - 2)$$
5. 展开并整理为斜截式：
6. $$y - 5 = 2x - 4 \implies y = 2x + 1$$

*计算器:* forbidden

## 绘制图像与情境解释

一次函数非常常用于模拟现实场景。在实际情境中，斜率代表恒定变化率，y轴截距代表输入为0时的初始值。要绘制直线，你只需要两个不同的点即可。

**例题:** 一家咖啡店会议室收取固定\$5租金，加上每人\$2饮品费。写出总费用$C$关于人数$p$的一次函数，并解释斜率和截距的意义。

1. 固定初始费用是截距，每人的费用是斜率：$c=5$，$m=2$
2. $$C = 2p + 5$$
3. 解释：截距5表示即使没人参加也需要支付\$5，斜率2表示每增加一人，总费用增加\$2。
4. 绘制图像时使用两个点：当$p=0$，$C=5$ → $(0,5)$；当$p=10$，$C=25$ → $(10,25)$。在$p \geq 0$范围内连接两点（人数不能为负）。

> **tip**
>
> 始终注意实际情境中的定义域限制：距离、人数、费用这类量不能取负值，所以不要将直线画到无效区域。

*计算器:* allowed

## 两条直线的交点

两条直线的交点是同时满足两个方程的点$(x,y)$。在实际情境中，这通常代表盈亏平衡点或均衡值。你可以用代数法或图像法求交点。

**例题:** 求$y = 3x - 4$和$y = -x + 8$的交点

1. 在交点处两个y相等，因此令两个y的表达式相等：
2. $$3x - 4 = -x + 8$$
3. 求解$x$：
4. $$4x = 12 \implies x = 3$$
5. 将$x=3$代回任意一个方程求$y$：
6. $$y = -(3) + 8 = 5$$
7. 交点为$(3, 5)$

**概念自测**

测试你的理解：

1. $y = 2x + 1$和$y = x + 4$的交点是？

   - $(2, 5)$
   - $(3, 7)$
   - $(1, 3)$
   - $(4, 8)$

   *答案:* $(2, 5)$

   *解析:* 正确！令$2x+1 = x+4 \implies x=3? 不对，重新计算：$2x+1 =x+4 → x=3$, $y= 2*3 +1=7$，对应选项B。没错，如果你得到不同答案，请检查你的代数计算。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 整理$ax + by = c$时，斜率$m$的符号错误
  - 原因: 移项时忘记改变$ax$的符号
  - 正确做法: 逐步整理：先将$ax$移到等号右侧，再将所有项除以$b$分离出$y$
- **错误做法:** 将斜率计算为$\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$，而非纵坐标变化量除以横坐标变化量
  - 原因: 在斜率公式中混淆了$x$和$y$变化量的顺序
  - 正确做法: 始终记住斜率 = $y$的变化量（升高）除以$x$的变化量（前进）
- **错误做法:** 在实际情境问题中将整条无限直线画到负坐标轴区域
  - 原因: 忘记距离或人数这类量不能为负
  - 正确做法: 只在输入变量的有效范围内画直线，并标注定义域
- **错误做法:** 求交点时只算出$x$就停止
  - 原因: 忘记交点是同时包含$x$和$y$坐标的二维点
  - 正确做法: 始终将得到的$x$值代回任意一个方程，求出对应的$y$值

## 速查表

| 概念 | 核心公式/规则 |
| --- | --- |
| $(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$之间的斜率 | $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ |
| 斜截式 | $y = mx + c$, $m$=斜率, $c$=$y$-截距 |
| 点斜式 | $y - y_1 = m(x - x_1)$ |
| 求两条直线的交点 | 令表达式相等，求解$x$，再求$y$ |

## 下一步

一次函数是IB AI SL几乎所有其他主题的基础构建模块。掌握这些核心技能会让你学习线性回归、线性方程组、分段函数甚至非线性函数都容易得多，因为几乎所有非线性关系都可以在某一点附近用一次函数近似。在整个课程中，你会经常使用一次函数对现实世界数据建模、求解优化问题，以及解释变量之间的关系。接下来，你将在此基础上学习更复杂的函数，从二次函数开始，也就是函数单元的下一个核心主题。

- [二次函数、根与顶点](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-quadratic-functions-roots-and-vertices/)
- [指数与对数函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-exponential-and-logarithmic-functions/)
- [函数图像变换](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-transformations-of-function-graphs/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-linear-functions-and-their-graphs/