反函数

IB 数学：应用与解释 SL· Topic 2.4· 25 分钟阅读

1. 一对一函数与可逆性★★☆☆☆⏱ 7 min

函数只有是**一对一（单射）**函数时，才存在有效反函数。一对一函数将每个输出映射到恰好一个输入，因此它必须同时通过竖直线检验（验证它是函数）和水平线检验。

📘 定义

一对一函数

对于函数 $f$ ，若每当 $f (a) = f (b)$ 都能推出 $a = b$ ，则 $f$ 是一对一函数。不存在两个不同的输入产生相同输出的情况。

例:

$f (x) = 2 x + 3$ 是一对一函数；在全体实数域上 $f (x) = x^{2}$ 不是一对一函数。

📐 例题

证明 $f (x) = 3 x - 2$ 在全体实数 $x$ 上是一对一函数。

1
假设对于输入 $a$ 和 $b$ ，有 $f (a) = f (b)$ ：
2
$3a - 2 = 3b - 2$
3
两边同时加2，再除以3：
4
$3a = 3b \implies a = b$
5
因为 $f (a) = f (b)$ 推出 $a = b$ ，所以 $f (x)$ 满足一对一函数的定义。

Exam tip:

求反函数前一定要先检查是否为一对一函数；非一对一函数在其完整定义域上不存在有效反函数。

2. 用代数方法求反函数★★★☆☆⏱ 8 min

遵循以下标准四步流程即可用代数方法求任意一对一函数的反函数：

从方程 $y = f (x)$ 出发
交换 $x$ 和 $y$ 的位置
整理方程解出 $y$
得到的 $y$ 就是 $f^{- 1} (x)$

📐 例题

求 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ 的反函数。

1
步骤1：将函数写为 $y$ 的形式：
2
$y = \frac{2x + 1}{x - 3}$
3
步骤2：交换 $x$ 和 $y$ ：
4
$x = \frac{2y + 1}{y - 3}$
5
步骤3：两边同时乘 $(y - 3)$ 并展开：
6
$x(y - 3) = 2y + 1 \implies xy - 3x = 2y + 1$
7
步骤4：将含 $y$ 的项整理到一侧并因式分解：
8
$xy - 2y = 3x + 1 \implies y(x - 2) = 3x + 1$
9
步骤5：解出 $y$ 得到反函数：
10
$f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$

3. 反函数的图像性质★★☆☆☆⏱ 5 min

反函数交换了 $x$ 和 $y$ ，因此 $f^{- 1} (x)$ 的图像是 $f (x)$ 的图像关于直线 $y = x$ 的对称图形。 $f (x)$ 上任意点 $(a, b)$ 对应 $f^{- 1} (x)$ 上的点 $(b, a)$ 。

📐 例题

已知 $f (x) = 2 x + 1$ 与坐标轴交于 $(0, 1)$ 和 $(- 0.5, 0)$ ，通过对称法画出反函数的草图。

1
步骤1：交换截距点的坐标得到 $f^{- 1} (x)$ 上的点：
2
原坐标 $(0, 1)$ → $(1, 0)$ ；原坐标 $(- 0.5, 0)$ → $(0, - 0.5)$
3
步骤2：将 $f (x)$ 的所有点关于直线 $y = x$ 对称，得到 $f^{- 1} (x)$ 的完整图像。
4
步骤3：验证：反函数为 $f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{2}$ ，它经过两个新点，说明对称作图正确。

4. 反函数的定义域和值域★★★☆☆⏱ 5 min

由于函数和反函数交换了输入和输出，二者的定义域和值域存在固定关系：

📘 定义

定义域-值域关系

对于任意可逆函数 $f$ ： $dom (f^{- 1}) = range (f)$ 且 $range (f^{- 1}) = dom (f)$

例:

若 $f (x) = x^{2}$ 的定义域为 $x \geq 0$ ，值域为 $y \geq 0$ ，则 $f^{- 1} (x) = x$ 的定义域为 $x \geq 0$ ，值域为 $y \geq 0$ 。

📐 例题

已知 $f (x) = x^{2}$ 的定义域为 $x \geq 2$ ，值域为 $y \geq 4$ ，求 $f^{- 1} (x)$ 的定义域和值域。

1
应用定义域-值域关系：
2
1. 反函数的定义域 = 原函数的值域
3
$\text{dom}(f^{-1}) = x \geq 4$
4
1. 反函数的值域 = 原函数的定义域
5
$\text{range}(f^{-1}) = y \geq 2$
6
这与反函数 $f^{- 1} (x) = x$ 一致，验证了结果正确。

5. 常见陷阱

错误做法:

将 $f^{- 1} (x)$ 与倒数 $\frac{1}{f ( x )}$ 混淆

原因:

符号 $f^{- 1}$ 表示反函数，不是-1次幂。

正确做法:

记住 $f^{- 1} (x)$ 是抵消 $f (x)$ 的作用，不是倒数。例如对于 $f (x) = 2 x$ ， $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2}$ ，不是 $\frac{1}{2 x}$ 。

错误做法:

不对非一对一函数限制定义域就直接求反函数

原因:

非一对一函数不满足水平线检验，因此其逆关系不是有效函数。

正确做法:

一定要先检查是否为一对一函数，必要时对原函数限制定义域使其成为一对一函数。

错误做法:

颠倒反函数的定义域和值域

原因:

很容易混淆哪个集合属于哪个函数

正确做法:

记住：反函数定义域 = 原函数值域，反函数值域 = 原函数定义域，即可避免该错误。

错误做法:

将反函数关于x轴或y轴对称，而非关于 $y = x$ 对称

原因:

凭记忆画反函数图像时的常见错误

正确做法:

始终以 $y = x$ 为对称轴，并交换1-2个关键点的坐标来验证对称正确。

6. 速查表

概念	核心规则/性质
反函数存在性	仅一对一函数存在（通过水平线检验）
代数步骤	$y = f (x)$ 2. 交换 $x, y$ 3. 解出 $y$ 4. $y = f^{- 1} (x)$
图像性质	$f^{- 1} (x)$ 是 $f (x)$ 关于 $y = x$ 的对称图形
定义域/值域	$dom (f^{- 1}) = range (f)$ ， $range (f^{- 1}) = dom (f)$
符号	$f^{- 1} (x) \neq = \frac{1}{f ( x )}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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反函数是IB AI SL中所有后续函数学习的基础概念。最重要的是，对数被定义为指数函数的反函数，因此理解反函数会让指数和对数模型的学习简单很多。反函数也常用来解决应用问题：这类问题需要你反转函数，根据给定输出求输入，这是考试中非常常见的要求。掌握反函数会为你后续所有函数主题的学习打下良好基础。