# 反函数

> IB 数学：应用与解释 SL · 单元 2：函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-inverse-functions/

本模块讲解如何识别可逆的一对一函数，用代数方法和图像法求反函数，以及确定反函数的定义域和值域。你还将学习如何对不可逆函数限制定义域。

**先修:** [函数符号、定义域和值域](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-functions-basics/); [多项式函数绘图](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-polynomial-functions/)

## 学习目标

- 识别存在有效反函数的一对一函数
- 用代数方法和图像法求函数的反函数
- 确定反函数的定义域和值域
- 对不可逆函数限制定义域以得到反函数

## 一对一函数与可逆性

函数只有是**一对一（单射）**函数时，才存在有效反函数。一对一函数将每个输出映射到恰好一个输入，因此它必须同时通过竖直线检验（验证它是函数）和水平线检验。

**一对一函数** — 对于函数 $f$，若每当 $f(a) = f(b)$ 都能推出 $a = b$，则 $f$ 是一对一函数。不存在两个不同的输入产生相同输出的情况。

*例:* $f(x) = 2x + 3$ 是一对一函数；在全体实数域上 $f(x) = x^2$ 不是一对一函数。

**例题:** 证明 $f(x) = 3x - 2$ 在全体实数 $x$ 上是一对一函数。

1. 假设对于输入 $a$ 和 $b$，有 $f(a) = f(b)$：
2. $$3a - 2 = 3b - 2$$
3. 两边同时加2，再除以3：
4. $$3a = 3b \implies a = b$$
5. 因为 $f(a) = f(b)$ 推出 $a = b$，所以 $f(x)$ 满足一对一函数的定义。

> **考试提示:** 求反函数前一定要先检查是否为一对一函数；非一对一函数在其完整定义域上不存在有效反函数。

## 用代数方法求反函数

遵循以下标准四步流程即可用代数方法求任意一对一函数的反函数：

1. 从方程 $y = f(x)$ 出发
2. 交换 $x$ 和 $y$ 的位置
3. 整理方程解出 $y$
4. 得到的 $y$ 就是 $f^{-1}(x)$

**例题:** 求 $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ 的反函数。

1. 步骤1：将函数写为 $y$ 的形式：
2. $$y = \frac{2x + 1}{x - 3}$$
3. 步骤2：交换 $x$ 和 $y$：
4. $$x = \frac{2y + 1}{y - 3}$$
5. 步骤3：两边同时乘 $(y-3)$ 并展开：
6. $$x(y - 3) = 2y + 1 \implies xy - 3x = 2y + 1$$
7. 步骤4：将含 $y$ 的项整理到一侧并因式分解：
8. $$xy - 2y = 3x + 1 \implies y(x - 2) = 3x + 1$$
9. 步骤5：解出 $y$ 得到反函数：
10. $$f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$$

## 反函数的图像性质

反函数交换了 $x$ 和 $y$，因此 $f^{-1}(x)$ 的图像是 $f(x)$ 的图像关于直线 $y = x$ 的对称图形。$f(x)$ 上任意点 $(a, b)$ 对应 $f^{-1}(x)$ 上的点 $(b, a)$。

> **info**
>
> $f(x)$ 和 $f^{-1}(x)$ 的所有交点都在直线 $y = x$ 上。

**例题:** 已知 $f(x) = 2x + 1$ 与坐标轴交于 $(0, 1)$ 和 $(-0.5, 0)$，通过对称法画出反函数的草图。

1. 步骤1：交换截距点的坐标得到 $f^{-1}(x)$ 上的点：
2. 原坐标 $(0, 1)$ → $(1, 0)$；原坐标 $(-0.5, 0)$ → $(0, -0.5)$
3. 步骤2：将 $f(x)$ 的所有点关于直线 $y = x$ 对称，得到 $f^{-1}(x)$ 的完整图像。
4. 步骤3：验证：反函数为 $f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2}$，它经过两个新点，说明对称作图正确。

## 反函数的定义域和值域

由于函数和反函数交换了输入和输出，二者的定义域和值域存在固定关系：

**定义域-值域关系** — 对于任意可逆函数 $f$：$\text{dom}(f^{-1}) = \text{range}(f)$ 且 $\text{range}(f^{-1}) = \text{dom}(f)$

*例:* 若 $f(x) = x^2$ 的定义域为 $x \geq 0$，值域为 $y \geq 0$，则 $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ 的定义域为 $x \geq 0$，值域为 $y \geq 0$。

**例题:** 已知 $f(x) = x^2$ 的定义域为 $x \geq 2$，值域为 $y \geq 4$，求 $f^{-1}(x)$ 的定义域和值域。

1. 应用定义域-值域关系：
2. 1. 反函数的定义域 = 原函数的值域
3. $$\text{dom}(f^{-1}) = x \geq 4$$
4. 2. 反函数的值域 = 原函数的定义域
5. $$\text{range}(f^{-1}) = y \geq 2$$
6. 这与反函数 $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ 一致，验证了结果正确。

## 常见错误

- **错误做法:** 将 $f^{-1}(x)$ 与倒数 $\frac{1}{f(x)}$ 混淆
  - 原因: 符号 $f^{-1}$ 表示反函数，不是-1次幂。
  - 正确做法: 记住 $f^{-1}(x)$ 是抵消 $f(x)$ 的作用，不是倒数。例如对于 $f(x)=2x$，$f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$，不是 $\frac{1}{2x}$。
- **错误做法:** 不对非一对一函数限制定义域就直接求反函数
  - 原因: 非一对一函数不满足水平线检验，因此其逆关系不是有效函数。
  - 正确做法: 一定要先检查是否为一对一函数，必要时对原函数限制定义域使其成为一对一函数。
- **错误做法:** 颠倒反函数的定义域和值域
  - 原因: 很容易混淆哪个集合属于哪个函数
  - 正确做法: 记住：反函数定义域 = 原函数值域，反函数值域 = 原函数定义域，即可避免该错误。
- **错误做法:** 将反函数关于x轴或y轴对称，而非关于 $y=x$ 对称
  - 原因: 凭记忆画反函数图像时的常见错误
  - 正确做法: 始终以 $y=x$ 为对称轴，并交换1-2个关键点的坐标来验证对称正确。

## 速查表

| 概念 | 核心规则/性质 |
| --- | --- |
| 反函数存在性 | 仅一对一函数存在（通过水平线检验） |
| 代数步骤 | 1. $y=f(x)$ 2. 交换 $x,y$ 3. 解出 $y$ 4. $y=f^{-1}(x)$ |
| 图像性质 | $f^{-1}(x)$ 是 $f(x)$ 关于 $y=x$ 的对称图形 |
| 定义域/值域 | $\text{dom}(f^{-1}) = \text{range}(f)$，$\text{range}(f^{-1}) = \text{dom}(f)$ |
| 符号 | $f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f(x)}$ |

## 下一步

反函数是IB AI SL中所有后续函数学习的基础概念。最重要的是，对数被定义为指数函数的反函数，因此理解反函数会让指数和对数模型的学习简单很多。反函数也常用来解决应用问题：这类问题需要你反转函数，根据给定输出求输入，这是考试中非常常见的要求。掌握反函数会为你后续所有函数主题的学习打下良好基础。

- [一次函数及其图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-linear-functions-and-their-graphs/)
- [二次函数、根与顶点](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-quadratic-functions-roots-and-vertices/)
- [指数与对数函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-exponential-and-logarithmic-functions/)

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