指数与对数函数

IB 数学：应用与解释 SL· 5 分钟阅读

1. 核心定义与互逆关系★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

指数函数

f(x) = a^x, \quad a>0, a \neq 1

自变量 $x$ 为常数底 $a$ 的指数的函数。定义域为全体实数，值域为全体正实数。

例:

f(x) = 2^x, f(x) = e^x

📘 定义

对数函数

f(x) = \log_a x, \quad a>0, a \neq 1

以 $a$ 为底的指数函数的逆函数。根据定义， $lo g_{a} x = y$ 当且仅当 $a^{y} = x$ 。定义域为全体正实数，值域为全体实数。

例:

\log_2 8 = 3 $, s in ce$ 2^3 = 8$

指数函数与对数函数互为逆函数，因此它们的图像关于直线 $y = x$ 对称。这个定义是所有互转和方程求解的基础。

📐 例题

将 $5^{3} = 125$ 转换为对数形式，将 $lo g_{4} 16 = 2$ 转换为指数形式。

1
回忆互逆关系： $a^{y} = x ⟺ lo g_{a} x = y$
2
对于 $5^{3} = 125$ ，有 $a = 5$ ， $y = 3$ ， $x = 125$ ，因此可得
3
$\log_5 125 = 3$
4
对于 $lo g_{4} 16 = 2$ ，有 $a = 4$ ， $x = 16$ ， $y = 2$ ，因此可得
5
$4^2 = 16$

Exam tip:

转换后一定要回代检查，确认底数、指数和真数的位置都正确。

2. 对数运算法则★★☆☆☆⏱ 20 min

所有对数法则都直接由指数法则推导而来。这些规则可以帮助我们化简复杂的对数表达式、求解方程。

法则名称	对数形式	指数对应形式
乘积法则	$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$	$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$
商法则	$lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y$	$\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$
幂法则	$lo g_{a} (x^{n}) = n lo g_{a} x$	$(a^{m})^{n} = a^{mn}$
换底公式	$lo g_{a} b = \frac{l n b}{l n a} = \frac{l o g _{10} b}{l o g _{10} a}$	N/A

📐 例题

化简 $2 ln 3 + ln 4 - ln 12$

1
先对第一项应用幂法则：
2
$2 \ln 3 = \ln 3^2 = \ln 9$
3
用乘积法则合并前两项：
4
$\ln 9 + \ln 4 = \ln(9 \times 4) = \ln 36$
5
应用商法则得到最终化简结果：
6
$\ln 36 - \ln 12 = \ln\left(\frac{36}{12}\right) = \ln 3$

3. 求解指数方程与对数方程★★★☆☆⏱ 25 min

当变量出现在指数位置时，我们用对数将指数“拉下”来求解。对于对数方程，我们合并项后转换为指数形式，然后一定要检查是否存在增根。

📐 例题

求解方程 $lo g_{2} (x + 2) + lo g_{2} x = 3$

1
用乘积法则合并对数：
2
$\log_2 [x(x+2)] = 3$
3
从对数形式转换为指数形式：
4
$x(x+2) = 2^3 = 8$
5
整理为标准二次方程形式：
6
$x^2 + 2x - 8 = 0$
7
因式分解求解二次方程：
8
$(x+4)(x-2) = 0 \implies x = -4 \text{ or } x = 2$
9
检验解： $x = - 4$ 会使对数无定义（真数为负），因此是增根。 $x = 2$ 的真数都为正，因此是有效解。
10
最终解： $x = 2$

📐 例题

求解 $3^{2 x - 1} = 24$ 中的 $x$ ，结果保留三位有效数字。

1
两边同时取自然对数：
2
$\ln\left(3^{2x -1}\right) = \ln 24$
3
应用幂法则将指数拉下：
4
$(2x -1) \ln 3 = \ln 24$
5
整理式子，分离出含 $x$ 的项：
6
$2x - 1 = \frac{\ln 24}{\ln 3} \approx 2.893$
7
求解 $x$ ：
8
$2x \approx 3.893 \implies x \approx 1.95$

4. 指数增长与衰减建模★★★☆☆⏱ 20 min

✓ 计算器

📘 定义

指数增长/衰减模型

A(t) = A_0 e^{kt}

标准连续模型，其中 $A_{0}$ 是 $t = 0$ 时的初始量， $k$ 是恒定增长率/衰减率，增长时 $k > 0$ ，衰减时 $k < 0$ 。

例:

种群增长、放射性衰变、冷却降温

IB AI SL中的大多数指数应用问题都符合这个标准形式。第一步永远是利用已知信息求出未知常数 $k$ ，再用模型回答问题。

📐 例题

一个细菌种群呈指数增长。 $t = 0$ 时共有100个细菌，3小时后共有800个细菌。求模型 $A (t) = 100 e^{k t}$ 中的 $k$ ，再求5小时后的种群数量。

1
将已知值（ $t = 3, A = 800$ ）代入模型：
2
$800 = 100 e^{3k}$
3
两边同时除以100，分离出指数项：
4
$8 = e^{3k}$
5
两边同时取自然对数：
6
$\ln 8 = 3k$
7
求解 $k$ ：
8
$k = \frac{\ln 8}{3} = \ln 2 \approx 0.693$
9
计算 $t = 5$ 时的种群数量：
10
$A(5) = 100 e^{5 \ln 2} = 100 (e^{\ln 2})^5 = 100 \times 2^5 = 3200$

Exam tip:

永远要检查最终得到的种群或量是否合理：增长得到的结果应该大于初始值，衰减得到的结果应该小于初始值。

5. 常见陷阱

错误做法:

求解对数方程时忘记检查增根

原因:

二次方程经常会得到负数解，这种解会使对数真数为负，导致对数无定义

正确做法:

永远要把每个解回代到原方程，确认所有对数真数都为正数

错误做法:

把 $n lo g_{a} x$ 错写成 $lo g_{a} x^{n} = (lo g_{a} x)^{n}$

原因:

混淆了真数的指数和整个对数的指数

正确做法:

记住幂法则是把真数的指数提出来作为乘数

错误做法:

将 $lo g_{a} (x + y)$ 拆分为 $lo g_{a} x + lo g_{a} y$

原因:

混淆了对数乘积法则和对数内部的加法运算

正确做法:

乘积法则只适用于对数内部的乘积，不适用于和。一般情况下 $lo g_{a} (x + y)$ 无法化简。

错误做法:

在分离出 $a^{x}$ 之前就对 $a^{x} + b = c$ 两边取对数

原因:

对数对加法没有分配律，过早取对数会导致化简错误

正确做法:

取对数前一定要先整理式子，把指数项单独分离到等号一侧

错误做法:

混淆指数函数和对数函数的定义域

原因:

搞混了哪个函数可以接受负数输入

正确做法:

指数函数可以接受任意实数 $x$ ，输出恒为正；对数函数只能接受正 $x$ ，输出可以是任意实数

6. 速查表

概念	核心公式	说明
指数 ↔ 对数互转	$a^{y} = x ⟺ lo g_{a} x = y$	互逆关系
乘积法则	$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$	$x > 0, y > 0$
商法则	$lo g_{a} (x / y) = lo g_{a} x - lo g_{a} y$	$x > 0, y > 0$
幂法则	$lo g_{a} (x^{n}) = n lo g_{a} x$	$x > 0$
换底公式	$lo g_{a} b = \frac{l n b}{l n a}$	适用于任意正底数
连续模型	$A (t) = A_{0} e^{k t}$	$k > 0$ 增长， $k < 0$ 衰减
定义域检查	$lo g_{a} x$ requires $x > 0$	永远要检查增根

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
指数增长模型问题
2023 · 2
求解二次对数方程

下一步

指数函数与对数函数是IB AI SL中最常考的考点之一，在两份试卷的纯数学题和应用题中都会出现。它们是所有比例增长衰减问题建模的基础，这类问题是金融、生物、物理应用中的核心内容。掌握这里的法则会让你在课程后续解决应用问题轻松很多，后续你会用这些函数对实际现象建模，并在场景中解读结果。