# 函数的概念、定义域、值域与图像

> IB 数学：应用与解释 SL · 单元 2：函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-concept-of-function-domain-range/

本小节介绍函数的核心定义，它是你在IB AI SL后续所有学习的基础。你将学习如何识别函数，求函数的定义域和值域，以及从图像和解析式中解读这些概念。

**先修:** 基础集合符号与区间符号; 坐标几何与图像绘制

## 学习目标

- 定义函数，并区分关系与函数
- 从解析式或图像中求函数的定义域
- 从解析式或图像中求函数的值域
- 使用竖线检验法从图像上识别函数

## 函数的定义：关系与函数的区别

**函数** — 输入与输出之间的一种关系：每个输入恰好对应一个输出。多个输入可以对应同一个输出，但一个输入不能对应多个输出。

*记法:* $f(x)$

*例:* $f(x) = 2x + 3$ 是一个函数，因为每个$x$都恰好对应一个$f(x)$

对于图像表示的关系，我们使用**竖线检验法**判断其是否为函数：如果任意一条竖线与图像相交超过一次，该关系就不是函数。

**例题:** 判断$x^2 + y^2 = 16$（圆心在原点、半径为4的圆）的图像是否为函数。

1. 回顾竖线检验法的规则：若任意竖线与图像相交超过一次，则该关系不是函数。
2. 在$x=0$处画一条竖线，该线与圆交于两个点：
3. $$y = 4 \text{ and } y = -4$$
4. 一个输入$x=0$对应两个输出，因此该关系不是函数。

> **tip**
>
> 即使多个输入对应同一个输出，它仍然是函数。只有一个输入对应多个输出才违反函数的定义。

> **考试提示:** 如果考题问「这个关系是否是函数」，务必用竖线检验法或定义来证明你的答案。

## 求函数的定义域

定义域是所有合法输入（$x$）值的集合。我们需要排除会使表达式无定义的值：除零，偶次根号下的负数。对于实际问题中的函数，定义域还会受场景限制（例如时间不能为负）。

**例题:** 求$f(x) = \sqrt{2x - 6}$的定义域，用区间符号写出你的答案。

1. 找出限制条件：对于实值函数，根号下的表达式必须非负。
2. 列出并求解不等式：
3. $$2x - 6 \geq 0 \\ 2x \geq 6 \\ x \geq 3$$
4. 用区间符号写出定义域，对包含的端点$x=3$使用闭括号。
5. $$\text{Domain: } [3, \infty)$$

> **info**
>
> 除非题目指定格式，否则IB AI SL接受区间符号和集合符号两种方式表示定义域和值域。

## 求函数的值域

值域是在给定定义域下，函数能产生的所有可能输出（$y$）值的集合。值域通常受函数形状限制：例如二次函数存在最小值或最大值，会限制值域的范围。

**例题:** 求定义域为全体实数$x$的函数$f(x) = (x - 2)^2 + 1$的值域。

1. 所有实数的平方都是非负的，因此：
2. $$(x - 2)^2 \geq 0$$
3. 两边加1得到$f(x)$的不等式：
4. $$(x - 2)^2 + 1 \geq 1$$
5. 最小输出为1，且$f(x)$可以增大到无穷大。用区间符号写出值域：
6. $$\text{Range: } [1, \infty)$$

**概念自测**

测试你的理解：

1. 对于全体实数$x$，$f(x) = 5 - x^2$的值域是什么？

   - $(-\infty, 5]$
   - $[5, \infty)$
   - $(-\infty, 5)$
   - All real numbers

   *解析:* 正确！$-x^2 \leq 0$，因此$5 - x^2 \leq 5$，最大值为5。

## 从图像读取定义域和值域

从图像读取定义域和值域时：定义域是图像沿水平$x$轴覆盖的范围，值域是图像沿竖直$y$轴覆盖的范围。实心圆点表示端点包含在内，空心圆点表示端点不包含。

**例题:** 一个函数的图像起点是$(-2, 1)$处的实心圆点，终点是$(3, 6)$处的空心圆点。求该函数的定义域和值域。

1. 读取覆盖的$x$值：从$x=-2$（包含）到$x=3$（不包含）。因此定义域为：
2. $$[-2, 3)$$
3. 读取覆盖的$y$值：从$y=1$（包含）到$y=6$（不包含）。因此值域为：
4. $$[1, 6)$$

> **warning**
>
> 务必检查图像中是否存在断点或空洞，将这些$x$值从定义域中排除。

> **考试提示:** 正确的符号会给分，因此请确保你对包含/不包含的端点使用正确的括号类型。

## 常见错误

- **错误做法:** 默认所有关系都是函数，跳过竖线检验法。
  - 原因: 许多常见关系如圆、开口向左右的抛物线、椭圆都不是函数。
  - 正确做法: 始终检查关系是否符合函数定义，对于图像则使用竖线检验法。
- **错误做法:** 混淆定义域和值域，交换输入和输出值。
  - 原因: 定义域描述输入（x），值域描述输出（y），交换会得到完全错误的答案。
  - 正确做法: 记住：定义域是水平方向（x轴），值域是竖直方向（y轴）。
- **错误做法:** 将导致除零的值包含在定义域中。
  - 原因: 除零是无定义的，因此这些输入不合法。
  - 正确做法: 令分母等于零，解出x，将这些值从定义域中排除。
- **错误做法:** 将根号下的负值包含在定义域中。
  - 原因: IB AI SL只研究实值函数，因此负数的平方根是无定义的。
  - 正确做法: 始终令根号下的表达式大于等于零。
- **错误做法:** 将空心圆点端点当作包含在定义域/值域中。
  - 原因: 空心圆点表示该点不属于图像，因此对应值不包含在内。
  - 正确做法: 区间符号中，实心圆点用闭括号，空心圆点用开括号。

## 速查表

| 概念 | 定义 | 核心规则 |
| --- | --- | --- |
| 函数 | 每个输入恰好对应一个输出 | 图像使用竖线检验法 |
| 定义域 | 所有合法输入（x）值的集合 | 排除除零、负根号情况 |
| 值域 | 所有合法输出（y）值的集合 | 检查函数的最大/最小值 |
| 竖线检验法 | 检查图像是否为函数 | 若相交超过一次，则不是函数 |

## 下一步

现在你已经掌握了函数、定义域和值域的核心概念，准备好学习建立在这个基础上的更复杂的函数主题了。这个核心定义会用在你在IB AI SL遇到的所有函数主题中，从线性函数到指数模型，它对解决本大纲核心的实际应用问题必不可少。理解如何限制定义域和解读值域也会帮助你在课程后续学习复合函数和反函数。你在绘图、解方程和解读考题结果时会不断用到这些技能。

- [反函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-inverse-functions/)
- [一次函数及其图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-linear-functions-and-their-graphs/)

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