复合函数

IB 数学分析与方法 SL· 2.3 复合函数· 40 分钟阅读

1. 什么是复合函数？★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

复合函数

$f \circ g$ , read as "f after g"

将一个函数 $g$ 的输出作为第二个函数 $f$ 的输入所得到的新函数，即 $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ 。

例:

若 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x + 1$ ，则 $(f \circ g) (x) = (x + 1)^{2}$

复合的一个核心性质是顺序很重要： $(f \circ g) (x)$ 几乎从不等于 $(g \circ f) (x)$ 。

📐 例题

已知 $f (x) = 2 x + 3$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ ，求 $(f \circ g) (2)$

1
首先计算最内层函数 $g$ 在 $x = 2$ 处的值：
$g(2) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
2
将结果代入外层函数 $f$ ：
$f(g(2)) = f(3) = 2(3) + 3 = 9$

Exam tip:

始终从内向外计算：先计算离 $x$ 最近的函数，再逐步向外计算到最外层函数。

2. 求复合函数的代数表达式★★★☆☆⏱ 15 min

要求 $(f \circ g) (x)$ 的一般代数形式，将外层函数 $f$ 中所有的 $x$ 替换为内层函数 $g (x)$ 的完整表达式，再根据要求化简即可。

📐 例题

已知 $f (x) = x + 4$ 且 $g (x) = 3 x - 2$ ，求 $(f \circ g) (x)$ 的最简形式

1
将 $f (x)$ 中的所有 $x$ 替换为 $g (x)$ 的完整表达式：
$f(g(x)) = f(3x - 2) = \sqrt{(3x - 2) + 4}$
2
化简根号内的表达式：
$\sqrt{3x - 2 + 4} = \sqrt{3x + 2}$

3. 复合函数的定义域★★★★☆⏱ 15 min

复合函数 $(f \circ g) (x)$ 的定义域遵循一个简单的两步规则：

所有 $x$ 都必须属于内层函数 $g (x)$ 的定义域
输出 $g (x)$ 必须属于外层函数 $f (x)$ 的定义域

📐 例题

已知 $f (x) = x + 4$ 且 $g (x) = 3 x - 2$ ，求 $(f \circ g) (x)$ 的定义域

1
求内层函数 $g (x)$ 的定义域： $g (x)$ 是一次函数，因此定义域是全体实数：
$\text{dom}(g) = \mathbb{R}$
2
求外层函数 $f (x)$ 的定义域：根号内的输入必须非负：
$x + 4 \geq 0 \implies \text{dom}(f) = [-4, \infty)$
3
要求 $g (x) \in dom (f)$ 并求解 $x$ 的范围：
$3x - 2 \geq -4 \implies 3x \geq -2 \implies x \geq -\frac{2}{3}$

Exam tip:

绝不要直接使用化简后复合表达式的定义域：始终先检查原内层函数带来的限制。

4. 分解函数★★★☆☆⏱ 10 min

考试题目经常要求你反向进行复合过程：将给定的复杂函数写为两个更简单的非平凡函数的复合。这是后续链式法则等内容的重要基础技能。

📐 例题

将 $h (x) = (2 x + 5)^{3}$ 写为 $h (x) = (f \circ g) (x)$ 的形式

1
识别内层函数：即被代入基础外层函数的表达式。这里 $2 x + 5$ 就是内层函数：
$g(x) = 2x + 5$
2
识别作用于内层表达式的外层函数：
$f(x) = x^3$
3
验证复合结果与原函数一致：
$f(g(x)) = f(2x + 5) = (2x + 5)^3 = h(x)$

5. 常见陷阱

错误做法:

交换复合顺序，题目要求 $f (g (x))$ 却计算了 $g (f (x))$

原因:

很多学生误将 $f \circ g$ 读成"先f后g"，而非"g之后再f"

正确做法:

记住： $f \circ g = f (g (x))$ ，离 $x$ 最近的函数总是先计算

错误做法:

没有使用两步法则，直接取化简后复合表达式的定义域

原因:

化简可能会消去内层函数原本带来的限制条件

正确做法:

始终检查 $x$ 属于 $g$ 的定义域，且 $g (x)$ 属于 $f$ 的定义域

错误做法:

将复合与乘法混淆，把 $f (g (a))$ 算成了 $f (a) \times g (a)$

原因:

相似的符号导致了这个常见错误，尤其是在考试压力下更容易出错

正确做法:

记住 $f (g (x))$ 是函数复合，不是乘法：将内层的输出代入外层函数即可

错误做法:

分解题给出平凡分解 $f (x) = x, g (x) = h (x)$

原因:

虽然技术上正确，但这没有回答题目要求的问题

正确做法:

分解为两个非平凡的简单函数，内层是被代入的表达式，外层是作用于该表达式的基础函数

6. 速查表

概念	符号	核心规则
复合（f在g之后）	$f \circ g$	$(f \circ g) (x) = f (g (x))$
在 $x = a$ 处求值	$f (g (a))$	先算 $g (a)$ ，再代入 $f$
$f \circ g$ 的定义域	$dom (f \circ g)$	$x \in dom (g)$ , $g (x) \in dom (f)$
分解 $h (x)$	$h = f \circ g$	内层 = 被代入表达式，外层 = 基础函数

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
求复合函数在某点的值
2022 · 1
求复合函数的定义域
2023 · 2
求复合函数的代数形式

下一步

复合函数是IB AA SL中几乎所有高阶函数主题的基础构成模块。你会用复合来描述函数变换，之后还会将其应用于求导（通过链式法则）和积分（通过 $u$ 换元法）。复合顺序或定义域计算错误是这些高分值题目中失分的常见原因，因此掌握这个子主题对整个大纲来说都很有价值。练习这里的技能，为后续内容打下坚实基础。