# 复合函数

> IB 数学分析与方法 SL · 第2单元：函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-composite-functions/

本模块将教你处理复合函数，包括求值、求代数表达式、计算有效定义域以及分解函数。你将学会避免这个高频考点中的常见考试错误。

**先修:** [基础函数符号、定义域与值域](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-function-basics/)

## 学习目标

- 正确定义复合函数并准确解读其符号
- 计算复合函数在给定输入值处的结果
- 求复合函数的代数表达式
- 确定复合函数的定义域
- 将复杂函数分解为更简单的复合函数

## 什么是复合函数？

**复合函数** — 将一个函数$g$的输出作为第二个函数$f$的输入所得到的新函数，即$(f \circ g)(x) = f(g(x))$。

*记法:* $f \circ g$, read as "f after g"

*例:* 若 $f(x) = x^2$ 且 $g(x) = x+1$，则 $(f \circ g)(x) = (x+1)^2$

复合的一个核心性质是**顺序很重要**：$(f \circ g)(x)$几乎从不等于$(g \circ f)(x)$。

**例题:** 已知 $f(x) = 2x + 3$ 且 $g(x) = x^2 - 1$，求 $(f \circ g)(2)$

1. 首先计算最内层函数 $g$ 在 $x=2$ 处的值：

   $$g(2) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$$
2. 将结果代入外层函数 $f$：

   $$f(g(2)) = f(3) = 2(3) + 3 = 9$$

> **考试提示:** 始终从内向外计算：先计算离$x$最近的函数，再逐步向外计算到最外层函数。

## 求复合函数的代数表达式

要求$(f \circ g)(x)$的一般代数形式，将外层函数$f$中所有的$x$替换为内层函数$g(x)$的完整表达式，再根据要求化简即可。

> **warning**
>
> 符号$f \circ g$表示$f(g(x))$，而非$g(f(x))$。离$x$更近的函数总是先被计算。

**例题:** 已知 $f(x) = \sqrt{x + 4}$ 且 $g(x) = 3x - 2$，求 $(f \circ g)(x)$ 的最简形式

1. 将 $f(x)$ 中的所有 $x$ 替换为 $g(x)$ 的完整表达式：

   $$f(g(x)) = f(3x - 2) = \sqrt{(3x - 2) + 4}$$
2. 化简根号内的表达式：

   $$\sqrt{3x - 2 + 4} = \sqrt{3x + 2}$$

## 复合函数的定义域

复合函数$(f \circ g)(x)$的定义域遵循一个简单的两步规则：

1. 所有 $x$ 都必须属于内层函数 $g(x)$ 的定义域
2. 输出 $g(x)$ 必须属于外层函数 $f(x)$ 的定义域

**例题:** 已知 $f(x) = \sqrt{x+4}$ 且 $g(x) = 3x - 2$，求 $(f \circ g)(x)$ 的定义域

1. 求内层函数 $g(x)$ 的定义域：$g(x)$ 是一次函数，因此定义域是全体实数：

   $$\text{dom}(g) = \mathbb{R}$$
2. 求外层函数 $f(x)$ 的定义域：根号内的输入必须非负：

   $$x + 4 \geq 0 \implies \text{dom}(f) = [-4, \infty)$$
3. 要求 $g(x) \in \text{dom}(f)$ 并求解 $x$ 的范围：

   $$3x - 2 \geq -4 \implies 3x \geq -2 \implies x \geq -\frac{2}{3}$$

> **考试提示:** 绝不要直接使用化简后复合表达式的定义域：始终先检查原内层函数带来的限制。

## 分解函数

考试题目经常要求你反向进行复合过程：将给定的复杂函数写为两个更简单的非平凡函数的复合。这是后续链式法则等内容的重要基础技能。

**例题:** 将 $h(x) = (2x + 5)^3$ 写为 $h(x) = (f \circ g)(x)$ 的形式

1. 识别内层函数：即被代入基础外层函数的表达式。这里 $2x + 5$ 就是内层函数：

   $$g(x) = 2x + 5$$
2. 识别作用于内层表达式的外层函数：

   $$f(x) = x^3$$
3. 验证复合结果与原函数一致：

   $$f(g(x)) = f(2x + 5) = (2x + 5)^3 = h(x)$$

> **note**
>
> 可能存在多个正确的分解方式，但考试题目通常要求最简单的非平凡分解。像 $f(x)=x, g(x)=h(x)$ 这样的平凡分解不会得分。

## 常见错误

- **错误做法:** 交换复合顺序，题目要求$f(g(x))$却计算了$g(f(x))$
  - 原因: 很多学生误将$f \circ g$读成"先f后g"，而非"g之后再f"
  - 正确做法: 记住：$f \circ g = f(g(x))$，离$x$最近的函数总是先计算
- **错误做法:** 没有使用两步法则，直接取化简后复合表达式的定义域
  - 原因: 化简可能会消去内层函数原本带来的限制条件
  - 正确做法: 始终检查$x$属于$g$的定义域，且$g(x)$属于$f$的定义域
- **错误做法:** 将复合与乘法混淆，把$f(g(a))$算成了$f(a) \times g(a)$
  - 原因: 相似的符号导致了这个常见错误，尤其是在考试压力下更容易出错
  - 正确做法: 记住$f(g(x))$是函数复合，不是乘法：将内层的输出代入外层函数即可
- **错误做法:** 分解题给出平凡分解$f(x)=x, g(x)=h(x)$
  - 原因: 虽然技术上正确，但这没有回答题目要求的问题
  - 正确做法: 分解为两个非平凡的简单函数，内层是被代入的表达式，外层是作用于该表达式的基础函数

## 速查表

| 概念 | 符号 | 核心规则 |
| --- | --- | --- |
| 复合（f在g之后） | $f \circ g$ | $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ |
| 在 $x=a$ 处求值 | $f(g(a))$ | 先算 $g(a)$，再代入 $f$ |
| $f \circ g$ 的定义域 | $\text{dom}(f \circ g)$ | $x \in \text{dom}(g)$, $g(x) \in \text{dom}(f)$ |
| 分解 $h(x)$ | $h = f \circ g$ | 内层 = 被代入表达式，外层 = 基础函数 |

## 下一步

复合函数是IB AA SL中几乎所有高阶函数主题的基础构成模块。你会用复合来描述函数变换，之后还会将其应用于求导（通过链式法则）和积分（通过$u$换元法）。复合顺序或定义域计算错误是这些高分值题目中失分的常见原因，因此掌握这个子主题对整个大纲来说都很有价值。练习这里的技能，为后续内容打下坚实基础。

- [反函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-inverse-functions/)
- [一次函数及其图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-linear-functions-and-their-graphs/)
- [二次函数、根与顶点](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-ai-sl-u2-quadratic-functions-roots-and-vertices/)

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